二次根式的乘除运算—知识讲解（提高） 【学习目标】 1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算. 2.能运用二次根式的有关性质进行分母有理化. 【要点梳理】 要点一、二次根式的乘法 1.乘法法则： （≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 要点诠释： (1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. (3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 要点二、二次根式的除法 1.除法法则： （≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除. 要点诠释： (1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0. (2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号. 要点三、分母有理化 1.分母有理化 把分母中的二次根式化去叫做分母有理化. 2.有理化因式 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用来确定，如：，，与等分别互为有理化因式. ②两项二次根式：利用平方差公式来确定.如与，，分别互为有理化因式. 要点诠释： 分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式. 【典型例题】 类型一、二次根式的乘除运算 1.（1） （2） 【答案与解析】 （1）原式= = (2)原式= 【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简. 举一反三 【变式】 【答案】原式= = 2. （2019春?潮南区月考）化简：4x2． 【思路点拨】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案． 【答案与解析】 解：4x2 =4x2÷12×3 =x2 =xy． 【总结升华】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键． 举一反三： 【变式】已知，且x为偶数，求(1+x)的值． 【答案】由题意得，即 ∴6＜x≤9，∵x为偶数，∴x=8 ∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)= ∴当x=8时，原式的值==6． 类型二、分母有理化 3. 把下列各式分母有理化： 【思路点拨】找分母有理化因式. 【答案与解析】 （1） （2） （3） 【总结升华】有理化因式不止一个，但以它们的乘积较简为宜.显然，与，a与a，b与b都是互为有理化因式. 举一反三： 【变式】（2018春?隆化县校级期末）阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化． 解：原式==+ 运用以上方法解决问题： （1）将分母有理化； （2）比较大小：（在横线上填“＞”、“＜”或“=”） （n≥2，且n为整数） （3）化简：+++…+． 【答案】解：（1）= = =2﹣； （2）∵=+，=+， 又＜， ∴＜， ∵=+，=+， ∴＜， 故答案为：＜，＜； （3）原式=++…+ =﹣1+﹣+﹣+…+﹣ =﹣1. 4. 已知，，求下列各式的值：（1）；（2）. 【思路点拨】先把x、y的值分母有理化，再分别代入所求的两个式子即可. 【答案与解析】 （1） 【总结升华】此题考查分母有理化与二次根式乘除的应用. 二次根式的乘除运算—巩固练习（提高） 【巩固练习】 一.选择题 1.若（ ）. A．-1 B.1 C .2x-1 D.1-2x 2.下列计算正确的是( ) A． B． C． D． 3.计算等于（ ）. A． B. C. D . 4.把根号外的因式移到根号内，得（ ）． A． B． C． D． 5. （2019春?长沙校级期中）已知a=，b=﹣2，则a，b的关系是（ ） A．a=b B．a= ... ...
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