高中数学新人教B版必修5课件：第二章数列2.2.2等差数列的前n项和（38张）

课件38张PPT。2.2.2　等差数列的前n项和1.理解等差数列前n项和公式推导过程. 2.掌握等差数列前n项和公式. 3.熟练掌握等差数列的五个量a1,d,n,an,Sn的关系.1.等差数列的前n项和公式 名师点拨1.倒序相加法是解决等差数列求和问题的基本方法,利用倒序相加法可以推出等差数列的前n项和公式. 2.等差数列的前n项和公式有两个,一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量,通常已知其中三个量,可求另外两个量,解答方法就是解方程组. 3.当已知首项a1和末项an及项数n时,用公式 来求和,用此公式时常结合等差数列的性质. 4.当已知首项a1和公差d及项数n时,用公式 来求和.【做一做1-1】 设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9的值为(　　) A.-6 B.-4 C.-2 D.2 解析:由S8=4a3知:a1+a8=a3,a8=a3-a1=2d=a7+d,所以a7=d=-2. 所以a9=a7+2d=-2-4=-6. 答案:A 【做一做1-2】 等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a17=10,则S19的值为(　　) A.55 B.95 C.100 D.不能确定 解析:∵a1+a19=a3+a17=10,答案:B 2.等差数列前n项和公式与函数的关系 因此,由二次函数的性质立即可以得出结论:当d>0时,Sn有最小值;当d<0时,Sn有最大值. 归纳总结数列中的最值问题可以根据二次函数的最值加以求解,这也是利用函数解决数列问题的一个重要应用.【做一做2-1】 已知等差数列{an}的通项公式an=19-2n,则{an}的前　　　　项和最大.? 答案:9 【做一做2-2】 已知数列{an}的前n项和Sn=n2-12n,则当n等于　　　　时,Sn最小.? 答案:6一二三一、关于等差数列中奇数项和、偶数项和的问题 剖析:(1)当等差数列{an}有偶数项时,设项数为2n, 设S偶=a2+a4+a6+…+a2n,① S奇=a1+a3+a5+…+a2n-1,② 由①-②,得S偶-S奇=nd. 由①+②,得S偶+S奇=S2n.(2)当等差数列{an}有奇数项时,设项数为2n+1, 设S奇=a1+a3+a5+…+a2n+1,③ S偶=a2+a4+a6+…+a2n,④ 由③-④,得S奇-S偶=a1+nd=an+1. 由③+④,得S偶+S奇=S2n+1=(2n+1)an+1.一二三(2)当项数为2n+1时,S奇-S偶=a1+nd=an+1,S偶+S奇=S2n+1=(2n+1)an+1,一二三知识链接除了上述性质外,与前n项和有关的性质还有: (1)等差数列的依次连续每k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…组成公差为k2d的等差数列. (2)若Sn为数列{an}的前n项和,则数列{an}为等差数列等价于数列 是等差数列. (3)若数列{an},{bn}都为等差数列,Sn,Sn'为它们的前n项和,则一二三二、教材中的“?” 如果仅利用通项公式,能求出使得Sn最小的序号n的值吗? 剖析:如果仅利用通项公式,也可求出使得Sn最小的序号n的值.因为该数列的通项公式为an=4n-32,其各项为-28,-24,…,-4,0,4,…,可以看出,所有负数或非正数的项相加其和最小,n的值为7或8.一二三三、教材中的“思考与讨论” 1.如果已知数列{an}的前n项和Sn的公式,那么这个数列确定了吗?如果确定了,那么如何求它的通项公式?应注意一些什么问题? 剖析:确定了.由公式 来求解,求解时要分类讨论,要注意验证当n=1时是否也适合当n≥2时的式子,能写成统一的形式就将a1合进来,否则保留分段函数形式.一二三2.如果一个数列的前n项和的公式是Sn=an2+bn+c(a,b,c为常数),那么这个数列一定是等差数列吗? 剖析:等差数列前n项和公式变形为 .当d≠0时,是关于n的二次函数,如果一个数列的前n项和公式是Sn=an2+bn+c(a,b,c为常数),那么这个数列的通项公式是 只有当c=0时,a1=a+b+c才满足an=2an-a+b.因此,当数列的前n项和公式为Sn=an2+bn时,所确定的数列才是等差数列,此时,等差数列的公差d=2a.题型一题型二题型三题型四题型五等差数列的前n项和公式的直接应用 【例1】 在等差数列{an}中, (1)已知a10=30,a20=50,Sn=242,求n; (2)已知S8=24,S12=84,求a1和d; (3)已知a6=20,S5=10,求a8和S8; (4)已知a16=3,求S31. 分析:在等差数列的前n项和公式中有五个基本量a1,an,d,n,Sn,只要已知任意三个量,就可以求出 ... ...