1.3.3 最大值与最小值 学 习 目 标 核 心 素 养 1.会求在指定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．(重点) 2．掌握含参数的最值问题的讨论．(难点) 3．掌握函数的极值与最值的联系与区别．(易混点) 1.通过函数最大、最小值的学习，培养数学抽象、直观想象素养． 2．借助函数最大、最小值的求解，提升数学运算素养. 1．函数的最大值与最小值． (1)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值． (2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值． 函数的最大(小)值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大(小)值，那么函数的最大(小)值惟一． 2．利用导数求函数的最值 求可导函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤 (1)求f(x)在区间(a，b)上的极值； (2)将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值． 思考：(1)函数在闭区间上的极大值就是最大值吗？极小值就是最小值吗？ (2)函数在区间[a，b]上的最值一定在端点处取得吗？ [提示] (1)不一定．函数在闭区间上的极大值不一定是最大值，还要与端点处的函数值比较，最大的即最大值；同理，闭区间上的极小值也不一定是最小值． (2)不一定．还与函数在区间上的单调性、极值有关． 1．函数f(x)＝－4x＋4在[0,3]上的最小值为( ) A．1 B．4 C．5 D．－ D [f′(x)＝x2－4，令f′(x)＝0， 解得x＝±2，因为x∈[0,3]，故x＝2， 当00，故当x＝2时，函数取极小值，也是最小值， f(x)最小值＝f(2)＝－8＋4＝－.] 2．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( ) A．无最值 B．有极值 C．有最大值 D．有最小值 A [f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．] 3．函数f(x)＝在[0,2]上的最大值为_____． [∵f′(x)＝＝， 令f′(x)＝0，得x＝1∈[0,2]． ∴f(1)＝，f(0)＝0，f(2)＝. ∴f(x)最大值＝f(1)＝.] 4．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为1，则m＝_____. 1 [f′(x)＝－3x2＋6x，x∈[－2,2]． 令f′(x)＝0，得x＝0，或x＝2， 当x∈(－2,0)时，f′(x)＜0， 当x∈(0,2)时，f′(x)＞0， ∴当x＝0时，f(x)有极小值，也是最小值． ∴f(0)＝m＝1.] 求函数在给定区间上的最值 【例1】 求下列函数的最值： (1)f(x)＝x3－x2－2x＋5，x∈[－2,2]； (2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0,1]． [解] (1)f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)， 令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝1. 当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表： x －2 － 1 (1,2) 2 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) －1 7 从上表可知，函数f(x)在[－2,2]上的最大值是7，最小值是－1. (2)f′(x)＝′－(ex)′＝－－ex＝－. 当x∈[0,1]时，f′(x)<0恒成立， 即f(x)在[0,1]上是减函数． 故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝－e； 当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0. 求函数最值的四个步骤 (1)求函数的定义域； (2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表； (4)求极值、端点值，确定最值． 1．(1)函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为( ) A．72 B．36 C．12 D．0 (2)函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为( ) A．1－e B．－1 C．－e D．0 (1)D (2)B [(1)因为y＝x4－4x＋3，所以y′＝4x3－4，令y′＝0，解得x＝1.当x<1时，y′<0，函数单调递减；当x>1时，y′>0，函数单调递增，所以函数y＝x4－4x＋3在x＝1处取得极小值0.而当x＝－2时，y＝27，当x＝3时，y＝72，所以当x＝1时，函数y＝ ... ...
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