1.1 两个基本计数原理 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握分类计数原理与分步计数原理．(重点) 2．会用两个基本计数原理解决一些简单的应用问题．(难点) 通过对两个基本计数原理的学习，发展数学抽象、逻辑推理素养. 1．分类计数原理 如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． 2．分步计数原理 如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． 思考：分类计数原理与分步计数原理有何区别？ [提示] 两个计数原理最大的区别是：完成这件事是分类还是分步．分类计数原理中每一类方法都能独立地完成这件事，具有“独立性”，而分步计数原理则是完成一件事分几步，而每一步中的每种方法不能独立完成这件事，每一步中的方法“分步互依”． 1．某校高三有三个班，分别有学生50人、50人、52人，从中选一人担任学生会主席，不同选法的种数为( ) A．100 B．102 C．152 D．50 C [这名学生会主席可能是一班学生，可能是二班学生，也可能是三班学生．依分类加法计数原理，共有50＋50＋52＝152种不同选法．] 2．现有4件不同款式的上衣和3件不同颜色的长裤，如果一件上衣和一条长裤配成一套，则不同的搭配法种数为( ) A．7 B．12 C．64 D．81 B [完成一种搭配有两个步骤，第一步，选上衣有4种不同的选法；第二步，选长裤有3种不同的选法．所以根据分步乘法计数原理共有4×3＝12种不同的搭配法．] 3．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有_____种．(用数字作答) 96 [分两类，第一棒是丙有1×2×4×3×2×1＝48(种)；第一棒是甲、乙中一人有2×1×4×3×2×1＝48(种)．根据分类计数原理得，共有方案48＋48＝96(种)．] 分类计数原理 【例1】 (1)从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人，5人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？ (2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？ [思路探究] (1)按所选组长来自不同班为分类标准．(2)按个位(或十位)取0～9不同的数字进行分类． [解] (1)分四类： 从一班中选一人，有4种选法； 从二班中选一人，有5种选法； 从三班中选一人，有6种选法； 从四班中选一人，有7种选法． 共有不同选法N＝4＋5＋6＋7＝22种． (2)法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 法二：按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)． 1．应用分类计数原理解题的策略 (1)标准明确：明确分类标准，依次确定完成这件事的各类方法． (2)不重不漏：完成这件事的各类方法必须满足不能重复，又不能遗漏． (3)方法独立：确定的每一类方法必须能独立地完成这件事． 2．利用分类计数原理解题的一般思路 1．(1)某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( ) A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 (2)有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4 ... ...
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