4.1.4 函数的奇偶性 4．1.5 用计算机作函数的图象(选学) (新课标对本节不做要求，略) 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解函数奇偶性的含义．(难点) 2.掌握判断函数奇偶性的方法．(重点、难点) 3.了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系．(易错点) 1.通过函数奇偶性定义的学习，培养学生的数学抽象素养. 2.借助函数奇偶性与单调性的综合学习，提升数学运算、逻辑推理素养. 1．奇函数、偶函数的定义 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D 条件 f(－x)＝－f(x) f(－x)＝f(x) 结论 f(x)是奇函数 f(x)是偶函数 2.奇函数、偶函数的图象特征 (1)奇函数?图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形． (2)偶函数?图象是以y轴为对称轴的轴对称图形． 思考：若点P(x，f(x))是奇函数y＝f(x)的图象上的一点，如何说明点P(x，f(x))关于原点对称的点P′(－x，－f(x))也在函数y＝f(x)的图象上？ [提示] 由奇函数的定义知，对于奇函数y＝f(x)的定义域D内任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，即当x的值为－x时，其函数值为－f(x)，所以点P′(－x，－f(x))也在这个奇函数y＝f(x)的图象上． 1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( ) A B C D B [选项A、C、D既不关于原点对称，也不关于y轴对称，所以它们不具有奇偶性，选项B的图象关于y轴对称，它是偶函数，故选B.] 2．函数f(x)＝，x∈(0,1)的奇偶性是( ) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 C [∵定义域为(0,1)不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶的函数，故选C.] 3．如果定义在区间[3－a,5]上的函数f(x)为奇函数，那么a＝_____. 8 [∵f(x)为奇函数，∴定义域关于原点对称． ∴－3＋a＝5，∴a＝8.] 4．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递增区间是_____． (－∞，0] [因为f(x)是偶函数，所以k－1＝0，即k＝1. ∴f(x)＝－x2＋3，即f(x)的图象是开口向下的抛物线． ∴f(x)的递增区间为(－∞，0]．] 函数奇偶性的判断 【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x＋1； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝|x－2|＋|x＋2|； (4)f(x)＝ [解] (1)函数f(x)＝x＋1的定义域为实数集R，关于原点对称． 因为f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，即f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，所以函数f(x)＝x＋1既不是奇函数又不是偶函数． (2)使函数有意义满足所以定义域为{1}， 因为定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数． (3)函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|的定义域为实数集R，关于原点对称． 因为f(－x)＝|－x－2|＋|－x＋2|＝|x＋2|＋|x－2|＝f(x)，所以函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|是偶函数． (4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝－(－x)2－1 ＝－＝－f(x)； 当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝－＝－f(x)． 综上可知，函数f(x)＝是奇函数． 定义法判断函数奇偶性的步骤 1．下列函数中，是偶函数的有_____．(填序号) ①f(x)＝x3；②f(x)＝|x|＋1；③f(x)＝； ④f(x)＝x＋；⑤f(x)＝x2，x∈[－1,2]； ⑥f(x)＝. ②③⑥ [对于①，f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，则为奇函数； 对于②，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1，则为偶函数； 对于③，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝＝＝f(x)，则为偶函数； 对于④，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝－x－＝－f(x)，则为奇函数； 对于⑤，定义域为[－1,2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数； 对于⑥，定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，关于原点对称，f(－x)＝＝＝f(x)，则为偶函数．故为偶函数的是②③⑥.] 函数奇偶性的应用 【例2】 (1)若函数f(x ... ...
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