§1 直线与直线的方程 1．1 直线的倾斜角和斜率 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念．(重点) 2．掌握过两点的直线斜率的计算公式．(重点) 1.通过直线的倾斜角和斜率的概念培养数学抽象素养． 2．通过学习过两点的直线的斜率公式的应用培养数学运算素养. 1．直线的确定及直线的倾斜角 (1)直线的确定：在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的方向． (2)直线的倾斜角：①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，通常用α表示． ②范围：0°≤α<180°. 思考1：若一条直线的倾斜角为0°时，此直线与x轴什么关系？ 提示：平行或重合． 2．直线的斜率 (1)直线的斜率： 直线倾斜角α的正切值叫作直线的斜率，即k＝ (2)经过两点的直线斜率的计算公式： 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. (3)斜率与倾斜角的关系： 图示 倾斜角 (范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α ＜180° 斜率 (范围) k＝0 k＞0 不存在 k＜0 思考2：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？ 提示：不是．若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为90°. 思考3：在同一直线(与x轴不重合)上任意取不同的两点的坐标计算的斜率都相等吗？ 提示：相等．对于一条直线来说其斜率是一个定值，与所选择点的位置无关，所以取任意不同的两点的坐标计算同一条直线的斜率一定相等． 1．若直线l的倾斜角为60°，则该直线的斜率为_____． [k＝tan 60°＝.] 2．经过两点A(3,2)，B(4,7)的直线的斜率是_____． 5 [k＝＝＝5.] 3．经过两点P(1，－4)，Q(－1，－4)的直线的倾斜角是_____． 0° [k＝tan α＝＝＝0，∴α＝0°.] 直线的倾斜角 【例1】 一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向的夹角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( ) A．α B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α D [如图，当直线l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当直线l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α. ] 求直线的倾斜角的方法及两点注意： ?1?方法：结合图形，构造含倾斜角的特殊三角形求解. ?2?两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°； ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 1．设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转45°后得直线l1，有下列四个选项：①α＋45°；②α＋135°；③α－45°；④135°－α，则直线l1的倾斜角可能的取值是( ) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ B [当α≥45°时，直线l绕点A顺时针旋转45°后得直线l1的倾斜角为α－45°；当0°≤α<45°时，直线l1的倾斜角为180°－(45°－α)＝135°＋α，故选B.] 求直线的斜率 【例2】 (1)已知点A(4，－5)，B(2，－3)，则直线AB的斜率kAB＝_____； (2)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为_____． [思路探究] 利用直线的斜率公式求解． (1)－1 (2)0 [(1)kAB＝＝＝－1. (2)当m＝3时，直线AB平行于y轴，斜率不存在． 当m≠3时，k＝＝－＝1，解得m＝0.] 1．熟记斜率公式是解答本题的关键． 2．求直线的斜率有两种思路：一是公式，二是定义．当两点的横坐标相等时，过这两个点的直线与x轴垂直，其斜率不存在，不能用斜率公式求解，因此，用斜率公式求斜率时，要先判断斜率是否存在． 2．已知直线l经过两点P1(2,1)和P2(m,2)(m∈R)． (1)求直线l的斜率； (2)若直线l的倾斜角α为45°，求m的值． [解] (1)当m＝2时，x1＝x2＝2，∴直 ... ...
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