备战2020中考数学专题模型研究12讲 专题4 根的判别式的模型研究（学生版+教师版）

【专题4】根的判别式的模型研究 【回归概念】 定理：根的判别式是判断方程实根个数的公式，在解题时应用十分广泛，涉及到解系数的取值范围、判断方程根的个数及分布情况等。一元二次方程（a≠0）的根的判别式是，用“△”表示(读做“delta”)。对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子 b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围． 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0 时，方程有两个相等的实数根； ③当△＜0 时，方程无实数根．上述结论反过来也成立． 【规律探寻】： 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）可以判断方程的根的情况，也可以判断方程中未知数的取值范围，在具体应用上也可进行判断三角形的边长取值范围或者三角形的形状， 若出现在二次函数中时，可以判断二次函数图像与x轴的交点情况，大于零时有两个交点，等于零时有一个交点，小于零时没有交点。 【典例解析】 ①用根的判别式判断一元二次方程根的情况 【例题1】 （2019?四川省广安市?10分）已知关于的一元二次方程. （1）求证：无论为任何实数，此方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为、，满足，求的值； （3）若△的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根、，求的内切圆半径. ②利用根的判别式求字母的值或取值范围 【例题2】（2019?山东省聊城市?3分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k≥0 B． k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥且k≠2 利用根的判别式求代数式的值 【例题3】已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求的值 利用根的判别式解与函数综合问题 【例题4】（2019?湖南衡阳?8分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值． 利用根的判别式确定三角形的形状 【例题5】已知a，b，c是三角形的三边长，且关于x一元二次方程(a＋c)x2＋bx＋ ＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状． 利用根的判别式探求菱形条件 【例题6】已知?ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方x2－mx＋－＝0的两个根． (1)m为何值时，?ABCD是菱形？并求出菱形的边长． (2)若AB的长为2，求?ABCD的周长是多少？ 【达标检测】 1. （2019?湖南湘西州?4分）一元二次方程x2﹣2x+3＝0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 2. y＝x＋1是关于x的一次函数，则关于x的一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的根的情况为 (　　) A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 3. （2019?湖北省咸宁市?3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1 4. （2018?黔南州）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形周长是　 　． 5. 已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0， (1)证明：不论m为何值，方程总有实数根； (2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 6. （2018·湖北江汉·7分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2=0． （1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值； （2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2=21，求m的值． 7. （2019?湖北孝感?10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）若a为正整数，求a的值； （2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值． ... ...