第04讲 因式分解 【考点整理】 1．因式分解的概念 把一个多项式化为几个_____的形式，像这样的式子变形，叫做多项式的因式分解，因式分解与整式乘法互为逆变形． 【智慧锦囊】 因式分解分解的是多项式，分解的结果是积的形式． 2．因式分解的一般步骤 一提(提取公因式法)；二套(套公式法)；一直分解到不能分解为止． 3．常用的变形技巧 当n是奇数时，(a－b)n＝－(b－a)n，当n是偶数时，(a－b)n＝(b－a)n. 【解题秘籍】 1．提公因式法 公因式：一个多项式各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式． 提取公因式法：一般地如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积形式，即ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c) ． 2．运用公式法 (1)平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b) ； (2)完全平方公式a2＋2ab＋b2＝(a+b)2 ， a2－2ab＋b2＝(a－b)2 . 【智慧锦囊】 二次三项式x2＋(p＋q)x＋pq，可以因式分解为(x＋p)(x＋q)． 【易错提醒】 1．提公因式法因式分解易错点 (1)提取公因式时，其公因式应满足： ①系数是各项系数的最大公约数； ②字母取各项相同字母的最低次幂． (2)公因式可以是数字，字母或多项式． (3)提取公因式时，若有一项全部提出，括号内的项应是“1”，而不是0. 2．因式分解的结果一定要彻底，分解到再不能分解为止 【题型解析】 1. 因式分解 【例题1】（2019?浙江嘉兴?4分）分解因式：x2﹣5x＝ ． 2. 因式分解的应用 【例题2】已知ab＝2，a－b＝3，则a3b－2a2b2＋ab3＝_____. 3. 因式分解的开放创新题 【例题3】仔细阅读下面例题，解答问题． 例题：已知二次三项式x2－4x＋m有一个因式是(x＋3)，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为(x＋n)，得 x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)， 则x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n. ∴解得 ∴另一个因式为(x－7)，m的值为－21. 问题： (1)若二次三项式x2－5x＋6可分解为(x－2)(x＋a)，则a＝－3； (2)若二次三项式2x2＋bx－5可分解为(2x－1)(x＋5)，则b＝9； (3)仿照以上方法解答下面问题：若二次三项式2x2＋5x－k有一个因式是(2x－3)，求另一个因式以及k的值． 【同步检测】 一、选择题： 1. 下列多项式能用平方差公式分解因式的是( ) A．4a2＋9b2 B．－a2－9b2 C．－(4a2＋9b2) D．4a2－9b2 2. （2019?湖南株洲?3分）下列各选项中因式分解正确的是（ ） A．x2﹣1＝（x﹣1）2 B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2） C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2） D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2 3. （2019?湖北省荆门市?3分）下列运算不正确的是（ ） A．xy+x﹣y﹣1＝（x﹣1）（y+1） B．x2+y2+z2+xy+yz+zx＝（x+y+z）2 C．（x+y）（x2﹣xy+y2）＝x3+y3 D．（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3 4. （2019·广西贺州·3分）把多项式4a2﹣1分解因式，结果正确的是（ ） A．（4a+1）（4a﹣1） B．（2a+1）（2a﹣1） C．（2a﹣1）2 D．（2a+1）2 5. （2019?山东临沂?3分）将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（ ） A．a（a2b﹣b） B．ab（a﹣1）2 C．ab（a+1）（a﹣1） D．ab（a2﹣1） 二、填空题： 6. （2019?浙江绍兴?5分）因式分解：x2﹣1＝ ． 7. （2019?湖南长沙?3分）分解因式：am2﹣9a＝ ． 8. （2019?湖北十堰?3分）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝ ． 三、解答题 9. (1）（2019?贵州黔东?3分）分解因式：9x2﹣y2． （2）（2019?湖北天门?3分）分解因式：x4﹣4x2． （3）（2019，山东淄博，4分）分解因式：x3+5x2+6x． 10. 设y＝kx，是否存在实数k，使得代数式(x2－y2)(4x2－y2)＋3x2(4x2－y2)能化简为x4？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由． 11. 李老师在黑板上写出三个算式：52－3 ... ...
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