2.2 等差数列 2.2.1 等差数列 第1课时 等差数列 学习目标：1.理解等差数列的概念．(难点)2.掌握等差数列的通项公式及运用．(重点、难点)3.掌握等差数列的判定方法．(重点) 1．等差数列的概念： 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差． 思考1：等差数列的定义用符号怎么表示？ [提示]an－an－1＝d(n≥2，d为常数) 2．等差中项 如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x与y的等差中项，且A＝. 思考2：任意两数都有等差中项吗？ [提示] 是 3．等差数列的通项公式 若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝a1＋(n－1)d. 思考3：等差数列的通项公式是什么函数模型？ [提示] d≠0时，一次函数，d＝0时，常值函数． 4．等差数列的单调性 等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为递增数列；若公差d<0，则数列{an}为递减数列． [基础自测] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列． ( ) (2)如果一个无穷数列{an}的前4项分别是1,2,3,4，则它一定是等差数列． ( ) (3)当公差d＝0时，数列不是等差数列． ( ) (4)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列． ( ) [提示] (1)× 由等差数列的概念可知． (2)× 因为一个无穷数列前四项构成公差为1的等差数列，往后各项与前一项的差未必是同一个常数1. (3)× 因为该数列满足等差数列的定义，所以该数列为等差数列，事实上它是一类特殊的数列———常数列． (4)√ 因a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列． 2．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝_____. 6－2n [∵a1＝4，d＝－2， ∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.] 3．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是_____． 46 [由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d 可知－89＝1＋(n－1)·(－2)，所以n＝46.] 4．方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为_____． －3 [设方程x2＋6x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－6，所以x1，x2的等差中项为A＝＝－3.] 等差数列的概念 若数列{an}的通项公式为an＝10＋ln 2n，试证明数列{an}为等差数列． [证明] 因为an＝10＋ln 2n＝10＋nln 2，所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)ln 2]－(10＋nln 2)＝ln 2(n∈N＋)． 所以数列{an}为等差数列． [规律方法] 等差数列的判定方法有以下三种 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N＋)?{an}为等差数列； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)?{an}为等差数列； (3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N＋)?{an}为等差数列. 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法. [跟踪训练] 1．数列{an}的通项公式an＝4－3n，则此数列( ) A．是公差为4的等差数列 B．是公差为3的等差数列 C．是公差为－3的等差数列 D．是首项为4的等差数列 C [∵an＋1－an＝4－3(n＋1)－(4－3n)＝－3. ∴{an}是公差为－3的等差数列．] 等差中项及其应用 (1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列． (2)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N＋，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求p，q的值． [解] (1)∵－1，a，b，c,7成等差数列， ∴b是－1与7的等差中项．∴b＝＝3. 又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1. 又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5. ∴该数列为－1,1,3,5,7. (2)由x1＝3，得2p＋q＝3， ① 又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4， 得3＋25p＋5q＝25p＋8q，即q＝1， ② 将②代入①，得p＝1. [规律方法] 三数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)， ... ...
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