习题课1 运动的合成与分解应用 [学习目标] 1.理解小船过河模型的特点，会分析过河的最短时间和最短位移问题． 2.会对“绳联物体”的速度进行分解，并能求出分速度的大小． 小船渡河问题 1．模型特点：小船参与的两个分运动：小船在河流中实际的运动(站在岸上的观察者看到的运动)可视为船同时参与了这样两个分运动： (1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船身的指向相同． (2)船随水漂流的运动(即速度等于水的流速)，它的方向与河岸平行．船在流水中实际的运动(合运动)是上述两个分运动的合成． 2．两类最值问题 (1)渡河时间最短问题：若要渡河时间最短，由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度．因此，只要使船头垂直于河岸航行即可．由图可知，t短＝，此时船渡河的位移x＝，位移方向满足tan θ＝. (2)渡河位移最短问题 情况一：v水＜v船 最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝，船头与上游河岸夹角θ满足 v船cos θ＝v水，如图甲所示． 甲 情况二：v水＞v船 乙 如图乙所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短．由图可知sin α＝，最短航程为x＝＝d.此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cos θ′＝. 【例1】 一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s.船在静水中的速度为v2＝5 m/s，求： (1)小船渡河的最短时间为多少？此时位移多大？ (2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？ [解析] (1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向．当船头垂直河岸时，如图所示， 合速度为倾斜方向，垂直分速度为v2＝5 m/s. t＝＝＝ s＝36 s v合＝＝ m/s x＝v合t＝90 m. (2)欲使船渡河的航程最短，船的合运动方向应垂直河岸．船头应朝上游与河岸成某一角度β. 如图所示，由v2sin α＝v1得α＝30°.所以当船头朝上游与河岸成一定角度β＝60°时航程最短． x＝d＝180 m t＝＝＝s＝24 s. [答案] (1)36 s 90 m (2)偏向上游与河岸成60°角 24 s 对小船渡河问题，要注意以下三点： (1)→常对某一分运动进行研究求解，一般用垂直河岸的分运动求解． (2)→可画出小船的速度分解图进行分析． (3)→要对小船的合运动进行分析，必要时画出位移合成图． 1．一艘船的船头始终正对河岸方向行驶，如图所示．已知船在静水中行驶的速度为v1，水流速度为v2，河宽为d.则下列判断正确的是( ) A．船渡河时间为 B．船渡河时间为 C．船渡河过程被冲到下游的距离为·d D．船渡河过程被冲到下游的距离为·d C [船正对河岸运动，渡河时间最短t＝，沿河岸运动的位移s2＝v2t＝·d，所以A、B、D选项错误，C选项正确．] “绳联物体”的速度分解问题 1．“绳联物体”指物体拉绳(杆)或绳(杆)拉物体的问题(下面为了方便，统一说“绳”)，注意以下两点： (1)物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳方向和垂直绳方向． (2)由于绳不可伸长，一根绳两端物体沿绳方向的速度分量相等． 2．常见的速度分解模型 【例2】 如图所示，以速度v沿竖直杆匀速下滑的物体A用轻绳通过定滑轮拉物体B，当绳与水平面夹角为θ时，物体B的速度为( ) A．v B. C．vcos θ D．vsin θ D [将A的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，如图所示，根据平行四边形定则得，vB＝vsin θ，故D正确．] 上例中，若物体B以速度v向左匀速运动，则物体A做什么运动？ 提示：vA′＝ 由于θ变小，故vA′变大，故物体A向上做加速运动． 2.如图所示，AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面的速度大小为v2，则v1、v2的关系是( ) A．v1＝v2 B．v1＝v2cos θ C．v1＝v2tan ... ...
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