浙教版备考2020中考数学考点导练案41讲 第24课时 直角三角形和勾股定理（原卷+解析卷）

第24课时 直角三角形和勾股定理 【考点整理】 1．直角三角形 定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形． 直角三角形性质：(1)直角三角形的两个锐角_____； (2)直角三角形的斜边上的中线等于斜边的_____； (3)在直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边的_____． 直角三角形判定：有两个角互余的三角形是_____三角形． 拓展：(1)SRt△ABC＝ch＝ab，其中a，b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高； (2)Rt△ABC内切圆半径r＝，外接圆半径R＝，即等于斜边的一半． 2．勾股定理 勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝_____. 【智慧锦囊】 勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两条边，求第三边； (2)已知直角三角形的一边，确定另外两边的关系； (3)证明带有平方关系的问题； (4)把实际问题转化为直角三角形中应用勾股定理的问题． 3．勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a，b，c，满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是_____三角形． 勾股数：能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数． 【智慧锦囊】 勾股定理逆定理的应用： (1)判断三角形的形状； (2)证明两条线段垂直； (3)实际应用． 【解题秘籍】； 1．面积法 用面积法证明是常用的技巧之一，勾股定理的证明通常用面积法．即利用某个图形的多种面积求法或面积之间的和差关系列出等式，从而得到证明的结论． 2．数形结合思想 在一些实际问题中，如解决立体图形侧面两点的距离问题，折叠问题，航海问题，梯子下滑问题等，常直接或间接运用勾股定理及其逆定理，在解决这些问题时，充分体现了数形结合思想，是中考的热点考题． 【易错提醒】 1．在利用勾股定理时，确定所给的边是直角边还是斜边，如果题中未说明，需要分类讨论． 2．在已知三角形三边的前提下，判断这个三角形是否为直角三角形，首先要确定三条边中的最大边，再根据勾股定理的逆定理来判定．解题时，往往受思维定式的影响，误认为如果是直角三角形，则c是斜边，从而造成误解． 3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这个性质定理常用于证明一条线段是另一条线段的一半的数量关系．注意直角三角形这一前提条件． 【题型解析】 1.直角三角形的性质的运用 【例题1】（2017浙江湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（　　） A．1 B． C． D．2 2.勾股定理的应用 【例题2】（2019?海南?3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（　　） A． B． C． D． 3.勾股定理与拼图 【例题3】（2019?浙江宁波?4分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（　　） A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积 C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和 4.平面展开最短线段问题 【例题4】我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是_____尺． 5.勾股定理中的逆定理 【例题5】(2019?湖南益阳?4分)已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两 ... ...