第九节 圆锥曲线的综合问题 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题． (2)理解数形结合的思想． (3)了解圆锥曲线的简单应用． 2．定值(定点)与最值问题 理解基本几何量，如：斜率、距离、面积等概念，掌握与圆锥曲线有关的定值(定点)、最值问题． 3．存在性问题 能够合理转化，掌握与圆锥曲线有关的存在性问题． / 知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程． 即消去y，得ax2＋bx＋c＝0. (1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0?直线与圆锥曲线C相交； Δ＝0?直线与圆锥曲线C相切； Δ<0?直线与圆锥曲线C相离． (2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． ?易误提醒 (1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点． (2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点． [自测练习] 1．若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 解析：直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交． [自测练习] 3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F(，0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为_____． 4．已知抛物线y＝ax2的焦点到准线的距离为2，则直线y＝x＋1截抛物线所得的弦长等于_____． / 考点一 直线与圆锥曲线的位置关系|/ / 1．(2019·兰州检测)若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为( ) A．至多一个 B．2 C．1 D．0 2．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是( ) A. B. C. D. 考点二 弦长问题|/ / 已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，且·＝0，⊙O是以F1F2为直径的圆，直线l：y＝kx＋m与⊙O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B. (1)求椭圆的标准方程； (2)当·＝λ，且满足≤λ≤时，求弦长|AB|的取值范围． / 解决弦长问题的注意点 (1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在时，可直接求交点坐标再求弦长． (2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用． / 已知抛物线y2＝8x的焦点为F，直线y＝k(x－2)与此抛物线相交于P，Q两点，则＋＝( ) A. B．1 C．2 D．4 考点三 中点弦问题|/ 弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点．归纳起来常见的探究角度有： 1．由中点弦确定直线方程． 2．由中点弦确定曲线方程． 3．由中点弦解决对称问题． 探究一 由中点弦确定直线方程 1．已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是_____． 探究二 由中点弦确定曲线方程 2．过点M(2，－2p)作抛物线x2＝2py(p>0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为6，则抛物线方程为_____． 探究三 由中点弦解决对称问题 3．已知双曲线－＝1(a，b>0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y＝ax2上的 ... ...
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