第四章 图形的性质 第21节 三角形的有关概念 ■考点1三角形的分类 由 三条线段 相连接所组成的图形是三角形 （1）按角的关系分类: （2）按边的关系分类: ■考点2.三边关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． ■考点3.角的关系 （1）内角和定理： ①三角形的内角和等180°； ②推论：直角三角形的两锐角互余. （2）外角的性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和. ②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角. ■考点4.三角形中的重要线段 四线性质 角平分线:(1)角平线上的点到角两边的距离相等 (2)三角形的三条角平分线的相交于一点叫 , 到 相等． 中线:(1) 三条中线交于三角形内部一点，叫其 ：每条中线平分三角形的 (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的 高:（1）三条高线所在的直线交于一点，叫其为 （2）锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部21·世纪*教育网 中位线: 三角形 的连线段．平行于 ，且等于 三角形中内、外角与角平分线的规律总结 如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=(∠C-∠B）；【出处：21教育名师】 如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°； 如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O； 如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A. ■考点1.三边关系 ◇典例 （2019年四川省自贡市）已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【考点】三角形三边的关系 【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长． 解：设第三边为x， 根据三角形的三边关系，得：4-1＜x＜4+1， 即3＜x＜5， ∵x为整数， ∴x的值为4． ?三角形的周长为1+4+4=9． 故选C. 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围． ◆变式训练 （2019年浙江省金华市、丽水市）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ） A．1 B．2 C．3 D．8 ■考点2.角的关系 ◇典例： （2019年广西百色市）三角形的内角和等于（ ） A．90° B．180° C．270° D．360° 【考点】三角形内角和定理 【分析】根据三角形的内角和定理进行解答便可． 解：因为三角形的内角和等于180度， 故选：B． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，熟记“三角形的内角和等于180度“是解题的关键． （2019年广西南宁市、北部湾经济区、北海市、崇左市、防城港市、钦州市）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ） A．60° B．65° C．75° D．85° 【考点】平行线的性质，三角形的外角性质 【分析】利用三角形外角性质（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和）解题或利用三角形内角和解题皆可． 解：如图： ∵∠BCA＝60°，∠DCE＝45°， ∴∠2＝180°﹣60°﹣45°＝75°， ∵HF∥BC， ∴∠1＝∠2＝75°， 故选：C． 【点评】主要考查了一副三角板所对应的角度是60°，45°，30°，90°和三角形外角的性质．本题容易，解法很灵活． ◆变式训练 （2019年湖北省宜昌市）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若∠α＝135°，则∠β等于（ ） A．45° B．60° C．75° D．85° （2019年四川省凉山州）如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝30°，∠A＝75°，则∠E的度数为（ ） A．135° B．125° C．115° D．105° ■考点3.三角形中的重要线段 四线性质 ◇典例： （20 ... ...
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