第四章 图形的性质 第22节 全等三角形 全等图形：能够完全重合的两个图形叫做 ． 注：能够完全重合即形状、大小完全相同． 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做 三角形 ■考点1全等三角形的性质 (1)全等三角形的对应边、对应角相等． (2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． (3)全等三角形的周长等、面积等． 失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角. ■考点2.三角形全等的判定 一般三角形全等 SSS（三边对应相等） SAS（两边和它们的夹角对应相等） ASA（两角和它们的夹角对应相等） AAS（两角和其中一个角的对边对应相等） 直角三角形全等 (1)斜边和一条直角边对应相等（HL） (2)证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS. 失分点警示 如图，SSA和AAA不能判定两个三角形全等. ■考点3.全等三角形的运用 （1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角 形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行 条件. （2）全等三角形中的辅助线的作法： ①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等. ②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即 . ③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④. ■考点1全等三角形的性质 ◇典例： 如图，≌，，，，则的度数为_____ ． 【考点】三角形内角和定理，全等三角形的性质 【分析】首先利用三角形内角和计算出∠BAC,再计算出∠BAD的度数,然后再根据全等三角形的性质可得答案. 解：∵，， ∴∠BAC=180°-70°-26°=84°. ∵， ∴∠BAD=84°-30°=54°. ∵≌， ∴∠BAC=∠DAE, ∴∠EAC=∠BAD=54°. 故答案为：54°. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，主要利用了全等三角形对应角相等，熟记性质是解题的关键． ◆变式训练 如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝30°，∠B＝50°，BF＝2，求∠DFE的度数和EC的长． ■考点2.三角形全等的判定 ◇典例 （2018年河北省）已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（ ） A．作∠APB的平分线PC交AB于点C B．过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC C．取AB中点C，连接PC D．过点P作PC⊥AB，垂足为C 【考点】全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定 【分析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论． 解：A、利用SAS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意； C、利用SSS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意； D、利用HL判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意， B、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意； 故选：B． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键． ◆变式训练 （2018年四川省甘孜州）如图，已知AB=BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个，不添加辅助线） （2018年四川省南充市）如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC． 求证：∠C=∠E． ■考点3.全等三角形的运用 ◇典例： 如图，A、B两建筑物位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B点出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC=CD，过D作DE∥AB，使E、C、A在同一直线上，则DE的长就是A、B之间的距离，请你说明道理． 【考点】全等三角形的应用． 【分析】根据BC=CD，∠CED=∠CAB，∠ACB=∠ECD，即可求证△ABC≌△EDC， ... ...
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