高中数学苏教版必修1讲义：3.4.2函数模型及其应用

3.4.2　函数模型及其应用 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解数学建模的基本步骤，体会数学建模的基本思想．(难点) 2．了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能进行简单应用(重点). 通过学习本节内容，提升学生的数学建模的数学运算核心素养. 1．常见的函数模型 (1)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)； (2)反比例函数模型：f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0)； (3)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)； (4)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)； (5)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1)； (6)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)． (7)分段函数模型． 2．用函数模型解决实际问题的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型； (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中． 1．某商店每月利润的平均增长率为2%，若12月份的利润是当年1月份利润的k倍，则k＝_____. 1.0211　[设1月份利润为x，则12月份的利润y＝x(1＋2%)11＝kx， ∴k＝1.0211.] 2．在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买1 000吨，每吨为800元；购买2 000吨，每吨为700元，一客户购买400吨，单价应该是_____元． 860　[依题意，可设y与x的函数关系式为y＝kx＋b， 由x＝800，y＝1 000及x＝700，y＝2 000， 可得k＝－10，b＝9 000， 即y＝－10x＋9 000， 将y＝400代入得x＝860(元)．] 利用已知函数模型解实际问题 【例1】　通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式： f(x)＝ (1)开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？ (2)开讲后5 min与开讲后20 min比较，学生的接受能力何时强一些？ (3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？ 思路点拨：精读题目，理解题意及分段函数的意义进行求解． [解]　(1)当0