第2讲 垂直平分线 1.垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. / PD为线段AB的垂直平分线，必然需要连接PA、PB，构造出等腰△PAB，进而求解. 逆定理：若PA=PB，则点P在AB的垂直平分线上. 【例题讲解】 例题1、如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC上.BD=CF，BE=CD，DG⊥EF于点G，且EG=FG.求证：AB=AC. / 【分析】可知GD为EF的垂直平分线，遇见垂直平分线，必然要将垂直平分线上的点与线段两端点连接 【解答】解：连接DE、DF如右图所示 / 在△BDE和△CFD中， . 例题2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，点E在AB上，且DE∥AC，AE=5，DE=2，DC=3，动点P从点A出发，沿边AC以每秒2个单位长的速度向终点C运动，设运动时间为t秒。 （1）线段AC的长= ； （2）在线段EA上有一点Q，满足ED=EQ，连接DQ、PE，当PE⊥DQ时，求出t的值. / 【解答】 （1）AC=6； （2）当PE⊥DQ时，由于ED=EQ，易证PE垂直平分DQ， 所以连接PD、PQ，只需使PD=PQ即可 可知AP=2t，所以PC=6-2t；CD=3，EQ=2，所以AQ=3， 所以， 所以 在Rt△PCD中，PD2=32+（6-2t）2； 在Rt△PQF中，PQ2= 所以32+（6-2t）2=，解得. 【总结】遇见垂直平分线，连接垂直平分线上的点与线段两端点是必然的！ 【最好方法】 当PE⊥DQ时，易证PE平分∠DEA，由【角平分线模型三】可知，平行+角平分线=等腰三角形，所以△AEP为等腰三角形，所以AP=AE=5，即2t=5，t=. 【巩固练习】 1、三角形三条边的垂直平分线的交点是三角形的（ ） A.重心 B.内心 C.外心 D.中心 2、在△AOB的内部有一点P，点P与P1关于OA对称，点P与P2关于BO对称，①则△OP1P2是（ ） A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 ②当∠AOB满足什么条件时，△OP1P2是等边三角形？ 3、如图，△ABC中，AB，AC的垂直平分线交BC于D、E， （1）若∠BAC=100°，则∠DAE= ； （2）若∠BAC=80°，则∠DAE= ； （3）若∠DAE=10°，则∠BAC= ； （4）若△ABC的周长为20，△ADE的周长为12，则AB+AC= ； （5）当AB=AC，且∠BAC=120°，则△ADE为何种特殊三角形？ / 4、如图，等边△ABC的边长为3，BO、CO分别为∠ABC、∠ACB的角平分线，BO、CO的垂直平分线交BC于E、F，则EF的长为 . / 5、如图，已知等腰△ABC，AB=BC=5，AC=，在BC边上存在一点P，恰好在线段AB的垂直平分线上，则BP的长为 . / 6、如图所示，已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.求证：AD垂直平分EF. / 7、△ABC中，D为BC中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线于点E，EF⊥AB于F，EG⊥AC于G.求证：BF=CG. / 8、如图，△ABC中，点D在BC上，且AD的垂直平分线EF交BC延长线于点F，若∠FAC=∠B，求证：AD平分∠BAC. / 9、如图，在△ABC中，AB=AC，D为三角形内一点，且△DBC为等边三角形. （1）求证：直线AD垂直平分BC； （2）以AB为一边，在AB的右侧画等边△ABE，连接DE，试判断以DA、DB、DE三条线段是否能构成直角三角形？请说明理由. / 10、已知二次函数y=ax2+2ax+c的图象与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，若C（0，2），BC的垂直平分线过点A，求这个二次函数的关系式. 11、如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AO返回；点Q从A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当点P、Q运动时，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BO-OP于点E.点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止，设点P、Q运动的时间为t秒（t>0）. （1）点Q的坐标是（ ， ）（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，直线DE经过点O. / 12、如图1，在矩形ABCD中，AB= ... ...
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