第5讲 几何模型之母子型 模型讲解 △ACD∽△ABC △ACD∽△BCA∽△BAD AC2＝AD·AB 射影定理：①AD2＝DB(DC ②BA2＝BD(BC ③CA2＝CD(CB 【圆中母子型】 过圆外一点P作引圆的两条切线PA为圆的切线， PB交圆于点C 连接OP、AB 则有△PAC∽△PBA 则OP是AB的垂直平分线 【例题讲解】 例题1、如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有（ ） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 解：∵∠CPD＝∠B，∠C＝∠C， ∴△PCF∽△BCP． ∵∠CPD＝∠A，∠D＝∠D， ∴△APD∽△PGD． ∵∠CPD＝∠A＝∠B，∠APG＝∠B＋∠C，∠BFP＝∠CPD＋∠C ∴∠APG＝∠BFP， ∴△APG∽△BFP． 则图中相似三角形有3对， 故答案为：C． 例题2、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过C作CD⊥AB，垂足为D. （1）若AD＝1，BD＝4，求CD的长；（2）若AC＝3，BD＝，求AB的长. 【总结】在直角母子型中，6条线段，已知其中任意2条，即可求出其它所有线段长！ 答案：（1）△ADC∽△CDB??(CD2＝AD(BD(CD＝2； （2）△ADC∽△BCA(＝(AC2＝AD(AB，设AD＝x，AB＝x＋， 整理得：5x2＋16x－45＝0，解得x＝，AB＝5. 例题3、如图，在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，过点B作BG⊥AC交⊙O于点E、H，连AD、ED、EC，若BD＝8，DC＝6，则CE的长为 . 解：∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∵BG⊥AC， ∴∠BGC＝∠ADC＝90°， ∵∠BCG＝∠ACD， ∴△ADC∽△BGC， ∴＝， ∴CG?AC＝DC?BC＝6×14＝84， 连接AE， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠AEC＝90°， ∴∠AEC＝∠EGC＝90°， ∵∠ACE＝∠ECG， ∴△CEG∽△CAE， ∴＝， ∴CE2＝CG(AC＝84， ∴CE＝2. 例题4、如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦，AB与CD交于点M，将弧CD沿着CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC. （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）点G为弧ADB的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E，交弧BC于点F（F与B、C不重合）。问GE·GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由. （1）证明：∵PA＝OA＝2，AM＝OM＝1，CM＝CD＝，∠CMP＝∠OMC＝90°， ∴PC＝＝＝2. ∵OC＝2，PO＝2＋2＝4， ∴PC2＋OC2＝（2）2＋22＝16＝PO2， ∴∠PCO＝90°， ∴PC是⊙O的切线； （2）解：GE?GF是定值，证明如下， 连接GO并延长，交⊙O于点H，连接HF， ∵点G为的中点 ∴∠GOE＝90°， ∵∠HFG＝90°，且∠OGE＝∠FGH， ∴△OGE∽△FGH， ∴＝， ∴GE?GF＝OG?GH＝2×4＝8． 例题5、二次函数y＝ax2＋2ax＋c的图象与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，以AB为直径的圆经过点C，问直线CP与该圆的位置关系并说明理由. 答案：设A（x1，0），B（x2，0），AB的中点为M（即为圆心） 则有x1＋x2＝－2，x1x2＝－,P（－1，c），C（0，c）， 由MA＝MB＝MC＝AB(ac＝1， 设圆的半径为R， 则R2＝AB2＝[(x1＋x2)2－4x1x2]＝1＋＝1＋， 易求直线CP：y＝ax＋c，即ax－y＋c＝0，设圆心M到直线CP的距离为d， 则d2＝＝＝＝1＋＝1＋. ∵d2＝r2,∴d＝r，又C在圆上，故相切. 例题6、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x－m）2－m2＋m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD＝AC，连结BD.作AE∥x轴，DE∥y轴. （1）当m＝2时，则点B的坐标为 ； （2）DE的长是否为定值，若是，请求出该值；若不是，请说明理由. 解：（1）当m＝2时，y＝（x－2）2＋1， 把x＝0代入y＝（x－2）2＋1，得：y＝2， ∴点B的坐标为（0，2）. （2）延长EA，交y轴于点F， ∵AD＝AC，∠AFC＝∠AED＝90°，∠CAF＝∠DAE， ∴△AFC≌△AED， ∴AF＝AE， ∵点A（m，－m2＋m），点B（0，m）， ∴AF＝AE＝|m|，BF＝m－（－m2＋m）＝m2， ∵∠ABF＝ ... ...
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