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课件网) 第二单元 方程(组)与不等式(组) 考点一 一元二次方程及其解法 1.一元二次方程的一般形式: 图7-1 【温馨提示】一元二次方程必须具备的三个条件 (1)必须是整式方程; (2)方程中只含有1个未知数; (3)未知数的最高次数是2. 2.一元二次方程的解法 (续表) 考点二 一元二次方程根的判别式 1.根的判别式 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为b2-4ac,用于判定方程根的情况. 2.判别式与根的关系 (1)b2-4ac>0?方程有④ 的实数根; (2)b2-4ac=0?方程有⑤ 的实数根;? (3)b2-4ac<0?方程⑥ 实数根.? 两个不相等 两个相等 没有 【温馨提示】 (1)求判别式时,应先将一元二次方程化为一般形式. (2)应用判别式时,若二次项系数含有字母,则需注意二次项系数不为0这个限制条件,必要时需分类讨论. 考点三 一元二次方程根与系数的关系* 若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,则 x1+x2=⑦ ,x1x2=⑧ .? 考点四 一元二次方程的实际应用 应用类型 等量关系 增长率 问题 (1)增长率=增量÷基础量; (2)设a为原来的量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量,则a(1+m)n=b;当m为平均下降率时,有a(1-m)n=b 销售 利润 问题 (1)纯利润=售出价-进货价-其他费用; (2)利润率=利润÷进货价×100%; (3)总利润=(售价-成本)×数量 (续表) (a-2x)(b-2x) (a-x)(b-x) 考向一 一元二次方程及其解法 例1 用指定方法解方程x2-12x+27=0. (1)公式法: (2)配方法: (3)因式分解法: 例1 用指定方法解方程x2-12x+27=0. (1)公式法: (2)配方法: (3)因式分解法: (2)配方法: 原方程为x2-12x+27=0,x2-12x=-27,x2-12x+62=-27+62,(x-6)2=9,x-6=±3, x1=3,x2=9. (3)因式分解法: 原方程为x2-12x+27=0, (x-3)(x-9)=0. ∴x-3=0或x-9=0.∴x1=3,x2=9. 【方法点析】解一元二次方程满分攻略 解一元二次方程要根据方程的特点选取方法,考虑选用的先后顺序为:直接开平方法,因式分解法,公式法,配方法.形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程可用直接开平方法;若一元二次方程的一边是0,而另一边又能分解成两个一次因式的积,则用因式分解法;当二次项系数为1,且一次项系数为偶数时,可用配方法. | 考向精练 | 1.[2019·扬州]一元二次方程x(x-2)=x-2的根是x= .? 1或2 2.[2019·齐齐哈尔]解方程:x2+6x=-7. 考向二 一元二次方程根的判别式 例2 已知关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0,若有两个不相等的实数根,则a满足 ;若有两个实数根,则a满足 ;若有实数根,则a满足 .? a>1且a≠5 a≥1且a≠5 a≥1 【方法点析】 (1)判别一元二次方程有无实数根,就是计算判别式b2-4ac的值,看它是否大于或等于0.注意,在计算前应先将方程化为一般形式. (2)注意一元二次方程的二次项系数不为零这个隐含条件. | 考向精练 | 1.[2019·包头样题二]若关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有实数根,则k的取值范围是 ( ) A.k>-1 B.k≥-1 C.k>-1且k≠0 D.k≥-1且k≠0 D 2.[2019·包头]已知等腰三角形的三边长分别为a,b,4,且a,b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根,则m的值是 ( ) A.34 B.30 C.30或34 D.30或36 [答案] A [解析]∵等腰三角形的三边长分别为a,b,4,∴a=b或a,b中有一数为4. 当a=b时,有(-12)2-4×(m+2)=0,解得m=34,此时a=b=6,可构成等腰三角形; 当a,b中有一数为4时,有42-12×4+m+2=0,解得m=30.此时原方程为x2-12x+32=0,解得x1=4,x2=8,即a,b分别为4,8.∵4+4=8,∴m=30不合题意,舍去.故选A. [答案] -1 3.若关于x的一元二次方程kx2-4x-3=0有两个不相等的实数根,则负整数k的值为 .? 解:∵x2-2x+2m-1=0有实数根, ∴Δ≥0, 即(-2)2-4(2m-1)≥0,∴m≤ ... ...
