第3章-3-2 二倍角的三角函数(二)学案

§3　二倍角的三角函数(二) 内容要求　1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法(重点).2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用(难点)． 知识点　半角公式 (1)S：sin ＝± ； (2)C：cos ＝± ； (3)T：tan ＝± (无理形式)＝＝(有理形式)． 【预习评价】 1．若cos α＝，且α∈(0，π)，则sin的值为(　　) A．－ B. C. D．－ 答案　B 2．已知cos α＝，α∈，则cos的值为(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　B 题型一　应用半角公式求值 【例1】　已知cos α＝，α为第四象限角，求sin 、cos 、tan . 解　sin ＝± ＝± ＝±， cos ＝± ＝± ＝±， tan ＝± ＝±＝±. ∵α为第四象限角，∴为第二、四象限角． 当为第二象限角时， sin＝，cos＝－，tan＝－； 当为第四象限角时， sin＝－，cos＝，tan＝－. 规律方法　在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号，而对于tan ，还要注意运用公式tan ＝＝来求值． 【训练1】　已知sin θ＝，且<θ<3π，求cos 和tan . 解　∵sin θ＝，<θ<3π， ∴cos θ＝－＝－. 由cos θ＝2cos2－1得cos2＝＝. ∵<<π. ∴cos ＝－ ＝－. tan ＝＝＝＝2. 题型二　利用半角公式化简 【例2】　化简. 解　∵＜α＜2π，∴＜＜π， ∴原式 ＝ ＝ ＝cos2－sin2＝cos α. 规律方法　对于三角函数式的化简有下面的要求： (1)能求出值的应求出值； (2)使三角函数种数尽量少； (3)使三角函数式中的项数尽量少； (4)尽量使分母不含有三角函数； (5)尽量使被开方数不含三角函数． 【训练2】　化简：，α∈. 解　∵α∈，∴cos α＞0，则由半角公式得＝cos α，∴原式＝.又∈，∴sin＞0，从而＝sin， 即原式＝sin. 方向1　三角恒等式的证明 【例3－1】　证明：··＝tan . 证明　左边＝·· ＝·＝· ＝＝ ＝tan ＝右边． 所以原等式成立． 方向2　三角恒等变形的综合应用 【例3－2】　已知函数f(x)＝cos－2sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求证：当x∈时，f(x)≥－. (1)解　f(x)＝cos－2sin xcos x＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)证明　由(1)知f(x)＝sin . ∵x∈，∴2x＋∈， ∴当2x＋＝－， 即x＝－时，f(x)取得最小值－. ∴f(x)≥－得证． 方向3　三角函数的实际应用 【例3－3】　如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，四边形ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP＝α，当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？求出这个最大面积． 解　在Rt△OBC中，OB＝cos α，BC＝sin α. 在Rt△OAD中，OA＝AD＝BC＝sin α， ∴AB＝OB－OA＝cos α－sin α. 设矩形ABCD的面积为S， 则S＝AB·BC＝(cos α－sin α)sin α ＝cos αsin α－sin2α ＝sin 2α－ ＝－ ＝sin－. 由0＜α＜，得＜2α＋＜. ∴当2α＋＝， 即α＝时，S最大＝. 因此，当α＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为. 规律方法　1.为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为余弦型(正弦型)函数，这是解决问题的前提． 2．解决有关三角函数的实际问题，应首先设定主变量角α以及相关的常量与变量，建立含有角α的三角函数关系式，再利用三角函数的变换、性质等进行求解．求三角函数最值的问题，一般需利用三角函数的有界性来解决. 课堂达标 1．若cos α＝，α∈(0，π)，则cos 的值为(　　) A. B．－ C．± D．± 解析　由题意知∈(0，)，∴cos >0，cos ＝＝. 答案　A 2．函数f(x)＝2sin sin的最大值等于(　　) A. B. C．1 D．2 解析　∵f(x)＝2sin  ＝sin x－sin2＝sin x－ ＝sin x＋cos x－ ＝sin－. ∴f(x)max＝. 答案　A 3．计算：＝_____. ... ...