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课件网) 一元二次方程根与系数的关系 教学课件 湘教版九年级上册 01 新课导入 目录 03 典型例题 02 新知探究 04 拓展提高 05 课堂小结 06 作业布置 01 新课导入 新课导入 我们已经知道，一元二次方程 的根的值由方程的系数a，b，c来决定，根与系数之间还存在哪种关系呢？请同学们填写下列表格，认真观察，能不能发现其中的奥秘。 方程 0 2 -4 1 2 3 2 0 -3 -4 5 6 02 新知探究 新知探究 探索一元二次方程根与系数的关系 想一想：（1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？ 重要发现 如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p , x1 ·x2=q. (x-x1)(x-x2)=0. x2-(x1+x2)x+x1·x2=0， x2+px+q=0， x1+x2= -p , x1 ·x2=q. 新知探究 想一想 （2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？ 解析：根据求根公式得 这样我们就得到一元二次方程两个实数根之间的关系了！ 新知探究 小归纳 一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理） 注意 满足上述关系的前提条件 b2-4ac≥0. 新知探究 一元二次方程根与系数关系的应用 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. x2 + 7x + 6 = 0; 解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6. 新知探究 设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根， 且x12 +x22 =4，求k的值. 解：由方程有两个实数根，得Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0 即 -8k + 4 ≥ 0. 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4, 解得 k1= 0 , k2 = 4 . 经检验， k2 = 4 不合题意，舍去. 一元二次方程根与系数关系的应用 新知探究 小归纳 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入. 归纳 新知探究 练一练 设x1, x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则: （1）x1+x2= , (2) x1·x2= , (3) , (4) . 4 1 14 12 03 典型例题 典型例题 1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m =____. 2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p = , q= . 1 -2 -3 3.设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值（1）(x1+1)(x2+1)；（2）求(x1-x2)2的值. 典型例题 解：(1)根据题意知 = )+1 = (2)根据题意知 4.已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1. 所以：x1 + x2=1+x2=6， 即：x2=5 . 由于 x1·x2=1×5= 得：m=15. 答：方程的另一个根是5，m=15. 典型例题 04 拓展提高 拓展提高 1. 当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1. 解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1 由根与系数的关系，得 拓展提高 2. 已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+ m -2=0 （1）若方程有实数根,求实数m的取值范围. （2）若方程两根x1,x2满足∣x1-x2∣= 1 求m的值. 解：(1)方程有实数根 ∴ 的取值范围为＞0 (2)∵方程有实数根 x1,x2 ∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1 解得m=8. 经检验m=8是原方程的解． 解 = =4 =8 ≥0 05 课堂小结 课堂小结 根与系数的关系 （韦达定理） 内 容 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么 应 用 06 作业 ... ...
