探究三 多得分，要想解题巧，数学思想离不了 高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合；二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想． 数学思想方法与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得，与此同时，它们又直接对知识的形成起到指导作用．因此，在平时的学习中，我们应对数学思想方法进行认真的梳理与总结，逐个认识它们的本质特征，逐步做到自觉地、灵活地将其运用于所需要解决的问题之中． 一 函数与方程思想 函数思想 方程思想 函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决 方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决 函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的．函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系 [例1] 设函数f(x)＝aexln x＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为y＝e(x－1)＋2. (1)求a，b； (2)证明：f(x)＞1. 【解析】 (1)f′(x)＝aex＋(x＞0)， 由于直线y＝e(x－1)＋2的斜率为e，图象过点(1,2)， 所以即解得 (2)证明：由(1)知f(x)＝exln x＋(x＞0)， 从而f(x)＞1等价于xln x＞xe－x－. 构造函数g(x)＝xln x，则g′(x)＝1＋ln x， 所以当x∈时，g′(x)＜0，当x∈时，g′(x)＞0，故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g＝－. 构造函数h(x)＝xe－x－，则h′(x)＝e－x(1－x)． 所以当x∈(0,1)时，h′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＜0； 故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－. 综上，当x＞0时，g(x)＞h(x)，即f(x)＞1. 函数思想的核心是选用变量建立求解目标的函数关系式，通过函数性质的研究得出问题的答案；方程思想的核心是建立求解目标的方程(组)，通过解方程(组)得出问题的答案．函数思想是动态的，方程思想是静态的. 『对接训练』 1．[2019·四川绵阳诊断]已知等差数列{an}的公差大于0，且a4＝7，a2，a6－2a1，a14是等比数列{bn}的前三项． (1)求数列{an}的通项公式； (2)记数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn＞39，求n的取值范围． 解析：(1)设等差数列{an}的公差为d(d＞0)， 由a4＝7，得a1＋3d＝7，① 又a2，a6－2a1，a14是等比数列{bn}的前三项， ∴(a6－2a1)2＝a2a14，即(5d－a1)2＝(a1＋d)(a1＋13d)，化简得d＝2a1，② 联立①②，解得a1＝1，d＝2.∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1. (2)∵b1＝a2＝3，b2＝a6－2a1＝9，b3＝a14＝27是等比数列{bn}的前三项， ∴等比数列{bn}的首项为3，公比为3.∴Sn＝＝.由Sn＞39，得＞39，化简得3n＞27，解得n＞3，n∈N*. 二 数形结合思想 以形助数(数题形解) 以数辅形(形题数解) 借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的的解决数学问题的数学思想 借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的的解决问题的数学思想 数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合 [例2] [2019·福建永春一中月考]已知不等式组表示的平 ... ...
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