第2讲 三角函数的图象与性质 考点1 三角函数的定义、诱导公式及基本关系 1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα. 3．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”． [例1] (1)[2018·全国卷Ⅰ]已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝( ) A. B. C. D．1 (2)[2019·山东潍坊一中月考]化简得( ) A．sin 2＋cos 2 B．cos 2－sin 2 C．sin 2－cos 2 D．±cos 2－sin 2 【解析】 (1)由cos 2α＝，得cos2α－sin2α＝， ∴ ＝，即＝， ∴ tan α＝±，即＝±， ∴ |a－b|＝. 故选B. (2)＝ ＝＝ ＝|sin 2－cos 2|，又<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0， ∴＝sin 2－cos 2，故选C. 【答案】 (1)B (2)C 应用三角函数的概念和诱导公式的注意事项 (1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误． (2)应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定注意三角函数的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等. 『对接训练』 1．[2019·湖北稳派教育检测]若一个扇形的面积是2π，半径是2，则这个扇形的圆心角为( ) A. B. C. D. 解析：设扇形的半径为r，圆心角为θ，则扇形的面积S＝lr，其中弧长l＝θr，则S＝θr2，所以θ＝＝＝，故选D. 答案：D 2．[2019·河北行唐月考]已知tan x＝，则sin xcos x＝( ) A. B. C. D. 解析：通解 ∵tan x＝，∴＝，即cos x＝3sin x，又sin2x＋cos2x＝1，∴sin2x＝.①当x为第一象限角时，sin x＝，cos x＝，∴sin xcos x＝；②当x为第三象限角时，sin x＝－，cos x＝－，∴sin xcos x＝.由①②得sin xcos x＝，故选C. 优解一 ∵tan x＝，∴＝，即cos x＝3 sin x，又sin2x＋cos2x＝1，∴sin2x＝，又1＋2sin xcos x＝(sin x＋cos x)2＝16sin2x，∴sin x·cos x＝＝＝，故选C. 优解二 ∵tan x＝>0，∴sin x与cos x同号，∴sin xcos x>0，不妨设x是第一象限角，且角x终边上一点的坐标为(3,1)，∴sin x＝，cos x＝，∴sin xcos x＝，故选C. 优解三 ∵sin xcos x＝＝，且tan x＝，∴sin xcos x＝＝，故选C. 答案：C 考点2 三角函数的图象与解析式 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (1)“五点法”作图 设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得． (2)图象变换 y＝sinxy＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)． [例2] (1)[2019·辽宁辽阳期末]已知函数f(x)＝Asin ωx(A>0，ω>0)与g(x)＝cos ωx的部分图象如图所示，则( ) A．A＝1，ω＝ B．A＝2，ω＝ C．A＝1，ω＝ D．A＝2，ω＝ (2)[2019·山西平遥二中月考]为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝cos 2x的图象上所有的点( ) A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【解析】 (1)由已知图象，可知＝1，T＝＝1.5×4＝6，所以A＝2，ω＝.故选B. (2)通解 ∵y＝cos 2x＝sin，函数y＝sin＝sin，∴只需把函数y＝cos 2x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度就得到函数y＝sin的图象，故选B. 优解 ∵y＝sin＝cos＝cos＝cos 2，∴只需把函数y＝cos 2x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度就得到函数y＝sin的图象，故选B. 【答案】 (1)B (2)B 1．确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的解析式的方法 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采 ... ...
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