（新教材）高中数学人教B版必修第二册 4.5　增长速度的比较（22张PPT课件+学案）

4.5　增长速度的比较 课标要求 素养要求 1.能利用函数的平均变化率，说明函数的增长速度. 2.比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”等术语的现实含义. 通过本节课的学习，使学生体会常见函数的增长速度，提升学生数学抽象、逻辑推理等素养. 教材知识探究 　杰米是百万富翁，一天，他碰到一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说：“我想和你订个合同，我将在整整一个月中(这个月有31天)，每天给你10万元，而你第一天只需给我1分钱，以后你每天给我的钱是前一天的两倍.”杰米说：“真的？你说话算数？” 合同开始生效了，杰米欣喜若狂.第一天杰米支出1分钱，收入10万元.第二天杰米支出2分钱，收入10万元，到了第10天，杰米共得100万元，而总共才付出10元2角3分.到了第20天，杰米共得200万元，而韦伯才得1万多元.杰米想：要是合同订二、三个月该多好！可从21天起，情况发生了转变. 第22天杰米支出2万多，收入10万，到第28天，杰米支出134万多，收入10万.结果，杰米在一个月(31)天内得到310万元的同时，共付给韦伯2千1百多万元！杰米破产了. 问题1　写出杰米每天收入y(单位：分)与天数x的函数关系式. 问题2　写出杰米每天支出y(单位：分)与天数x的函数关系式. 提示1　y＝107(x∈N*) 提示2　y＝2x－1(x∈N*) 三种常见函数模型的增长差异 对比三类函数的增长速度，熟记图像变化规律 　　　函数 性质　　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0) 在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数 图像的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 随k值而不同 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长速度 y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k>0)的增长速度；总存在一个x0，当x>x0时，恒有logaxx0时，有ax>kx>logax 教材拓展补遗 [微判断] 1.当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值(不等于零)，则y是x的一次函数.(√) 2.函数y＝log2x增长的速度越来越慢.(√) 3.不存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.(×) 提示　根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100. [微训练] 1.下列函数中随x的增大而增长速度最快的是(　　) A.y＝ex B.y＝100 ln x C.y＝x100 D.y＝100·2x 解析　指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且a值越大，增长速度越快，应选A. 答案　A 2.函数y＝－2x＋1的平均变化率为_____，也就是说自变量每增加一个单位，函数值将_____个单位. 解析　＝＝＝－2，∴自变量每增加一个单位，函数值将减小2个单位. 答案　－2　减小2 3.已知f(x)＝2x＋3，g(x)＝3x－2，若g(x0＋Δx)>f(x0＋Δx)对任意Δx>0恒成立，则x0的最小值为_____. 解析　f(x)，g(x)的平均增长率分别为2，3，由g(x0＋Δx)>f(x0＋Δx)，可得3(x0＋Δx)－2>2(x0＋Δx)＋3，∴x0>5－Δx.∵Δx>0，∴5－Δx<5，∴x0≥5. 答案　5 [微思考] 1.函数y1＝log3x与函数y2＝3x，当x从1增加到m时，函数的增量分别是Δy1与Δy2，则根据两类函数的增长差异，Δy1与Δy2的大小关系如何？ 提示　由于对数函数在x>1后的增长速度小于指数函数的增长速度，所以Δy1<Δy2. 2.在区间(0，＋∞)上，当a>1，n>0时，是否总有logax1，n>0，x>x0时，logax1，x>0时，随x的增加，y增加的越来越快，当0<α<1，x>0时，随x的增加，y增加的越来越慢 【例1】　已知函数y＝x2，分别计算函数在区间[1，2]与[2，3]上的平均变化率，并说明当自变量每增加1个单位时，函数值变化的规律. 解　因为＝＝x2＋x1，所以y＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为3 ... ...