人教版八年级上册数学期末复习微专题3 等腰三角形中辅助线的作法(含答案)

人教版数学八年级上册 微专题3 等腰三角形中辅助线的作法 类型一　作“三线”中的“一线” 1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F. (1)求证：DE＝DF； (2)若∠A＝90°，图中与DE相等的有哪些线段(不说明理由)? 2. 如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB. 类型二　截长补短法 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°. 求证：BD＋DC＝AB. 4. 如图，已知AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D， 求证：BC＝AB＋CD. 类型三　加倍折半法 5. 如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC. 求证：CD＝2CE. 类型四　作平行线法 6. 如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D. (1)求证：PD＝DQ； (2)若△ABC的边长为1，求DE的长. 参考答案 1. 1. (1)证明：连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.　 (2)解：若∠BAC＝90°，图中与DE相等的有线段DF，AE，AF，BE，CF. 2. 证明：作EF⊥AC于F.∵EA＝EC，∴AF＝FC＝AC.∵AC＝2AB，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE(SAS)，∴∠ABE＝∠AFE＝90°.∴EB⊥AB. 3. 证明：如图，延长BD至E，使BE＝AB，连接CE，AE.∵∠ABE＝60°，BE＝AB，∴△ABE为等边三角形.∴∠AEB＝60°.又∵∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠AEB.∵AB＝AC，AB＝AE，∴AC＝AE，∴∠ACE＝∠AEC.∴∠DCE＝∠DEC.∴DC＝DE.∴AB＝BE＝BD＋DE＝BD＋CD，即BD＋DC＝AB. 4. 证明：在线段BC上截取BE＝BA，连接DE.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC.又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠BED＝∠A＝108°.∴∠DEC＝180°－∠BED＝72°.又∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ACB＝∠ABC＝×(180°－108°)＝36°，∴∠EDC＝∠BED－∠C＝108°－36°＝72°.∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE，∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD. 5. 证明：如图，延长CE到点F，使EF＝CE，连接FB，则CF＝2CE.∵CE是△ABC的中线，∴AE＝BE.在△BEF和△AEC中，∴△BEF≌△AEC(SAS).∴∠EBF＝∠A，BF＝AC.又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠CBD＝∠A＋∠ACB，∴∠CBD＝∠EBF＋∠ABC＝∠CBF.∵CB是△ADC的中线，∴AB＝BD.又∵AB＝AC，AC＝BF，∴BF＝BD.在△CBF与△CBD中，∴△CBF≌△CBD(SAS).∴CF＝CD.∴CD＝2CE. 6. (1)证明：过P作PF∥BC交AC于点F.∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD＝∠QCD.∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AFP＝60°，∴△APF是等边三角形.∴AP＝PF，∵AP＝CQ，∴PF＝CQ，∴△PFD≌△QCD.∴PD＝DQ.　 (2)解：由(1)知△APF是等边三角形，又PE⊥AC，∴AE＝EF.∵△PFD≌△QCD，∴CD＝DF，DE＝EF＋DF＝AC，又∵AC＝1，∴DE＝.