（新教材）2019-2020学年新素养同步人教A版高中数学必修第二册学案：7．2.2　复数的乘、除运算Word版含答案

7．2.2　复数的乘、除运算 考点 学习目标 核心素养 复数的乘除运算 掌握复数乘除运算的运算法则，能够进行复数的乘除运算 数学运算 复数乘法的运算律 理解复数乘法的运算律 逻辑推理 解方程 会在复数范围内解方程 数学运算 问题导学 预习教材P77－P79的内容，思考以下问题： 1．复数的乘法和除法运算法则各是什么？ 2．复数乘法的运算律有哪些？ 3．如何在复数范围内求方程的解？ 1．复数乘法的运算法则和运算律 (1)复数乘法的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． (2)复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 ■名师点拨 对复数乘法的两点说明 (1)复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行运算，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)． (2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用． 2．复数除法的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)(a，b，c，d∈R)， 则＝＝＋i(c＋di≠0)． ■名师点拨 对复数除法的两点说明 (1)实数化：分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似． (2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个复数的积与商一定是虚数．(　　) (2)两个共轭复数的和与积是实数．(　　) (3)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ (1＋i)(2－i)＝(　　) A．－3－i　　　　　　　　 B．－3＋i C．3－i D．3＋i 答案：D (2019·高考全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 解析：选D.由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i. 复数z＝的虚部为_____． 解析：z＝＝＝＝－i. 答案：－ 复数的乘法运算 　(1)(1－i)(1＋i)＝(　　) A．1＋i　　　　　　　　 B．－1＋i C.＋i D．－＋i (2)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝(　　) A．5－4i B．5＋4i C．3－4i D．3＋4i (3)把复数z的共轭复数记作，已知(1＋2i) ＝4＋3i，求z. 【解】　(1)选B.(1－i)(1＋i) ＝(1－i)(1＋i) ＝(1－i2) ＝2＝－1＋i. (2)选D.因为a－i与2＋bi互为共轭复数， 所以a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i. (3)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi， 由已知得，(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等的条件知，解得a＝2，b＝1， 所以z＝2＋i. 复数乘法运算法则的应用 复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i2换成－1，并将实部、虚部分别合并．多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如(a＋bi)2＝a2＋2abi＋b2i2＝a2－b2＋2abi，(a＋bi)3＝a3＋3a2bi＋3ab2i2＋b3i3＝a3－3ab2＋(3a2b－b3)i.　 1．(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)＝_____． 解析：(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i) ＝(24＋8i－6i＋2)－(28＋21i－4i＋3) ＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i. 答案：－5－15i 2．已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z. 解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi(a，b∈R)， 由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i， 即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，则有 解得或所以z＝－1或z＝－1＋3i. 复数的除法运算 　计算： (1)； (2). 【解】　(1)＝ ＝＝＝＋i. (2)＝＝ ＝＝＝＝1－i. 复数除法运算法则的应用 复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．　 1.＝(　　) ... ...