§5 简单的幂函数(一) 学习目标 1.了解幂函数的概念.2.掌握y＝xα的图像与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题． 知识点一 幂函数的概念 思考 y＝，y＝x，y＝x2三个函数有什么共同特征？ 答案 底数为x，指数为常数． 梳理 如果一个函数底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数． 知识点二 幂函数的图像与性质 思考 如图在同一坐标系内作出函数(1)y＝x；(2)；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图像． 填写下表： y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 单调性 增 在[0，＋∞) 上增加，在(－∞，0] 上减少 增 增 在(0，＋∞) 上减少，在(－∞，0) 上减少 梳理 根据上表，可以归纳一般幂函数特征： (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图像都过点(1,1)； (2)α>0时，幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图像下凸；当0<α<1时，幂函数的图像上凸； (3)α<0时，幂函数的图像在区间(0，＋∞)上是减函数； (4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图像关于直线y＝x对称； (5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图像相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 1．y＝－是幂函数．( × ) 2．当x∈(0,1)时，x2>x3.( √ ) 3．与定义域相同．( × ) 4．若y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.( √ ) 类型一 幂函数的概念 例1 已知是幂函数，求m，n的值． 考点 题点 解 由题意得解得 所以m＝－3或1，n＝. 反思与感悟 只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为常量这三个条件，才是幂函数．如：y＝3x2，y＝(2x)3，y＝4都不是幂函数． 跟踪训练1 在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 考点 题点 答案 B 解析 因为y＝＝x－2，所以是幂函数； y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数； y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图像比幂函数y＝x0的图像多了一个点(0,1), 所以常函数y＝1不是幂函数． 类型二 幂函数的图像及应用 例2 若点(，2)在幂函数f(x)的图像上，点在幂函数g(x)的图像上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)1或x<－1时，f(x)>g(x)； (2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)； (3)当－11和α<0三种情况讨论． 跟踪训练2 幂函数y＝xα(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一簇美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图像三等分，即有BM＝MN＝NA，则αβ等于( ) A．1 B．2 C．3 D．无法确定 考点 题点 答案 A 解析 由条件知，M，N， ∴＝α，＝β， ∴αβ＝α＝α＝，∴αβ＝1.故选A. 类型三 幂函数性质的应用 命题角度1 比较大小 例3 设则a，b，c的大小关系是( ) A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>b>a 考点 比较幂值的大小 题点 利用单调性比较大小 答案 B 解析 ∵y＝x在R上为减函数，∴即ac.∴b>a>c.故选B. 反思与感悟 此类题 ... ...
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