陕西省榆林市2020届高三模拟第一次测试理数试题（PDF版）

绝密★启用前 榆林市2020届高考模拟第一次测试 数学（理科）试题参考答案 一、选择题（每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B D D B D A D A A B 二、填空题（每小题5分，共20分） 题号 13 14 15 16 答案 8π 三、解答题(共70分) 17.(本小题满分12分) （Ⅰ）证明：∵平面，平面,∴. ∵四边形ABCD为矩形， ∴，，平面,平面, ∴平面. ∵平面，∴. ………………………………………………3分 ∵,，平面,平面, ∴平面. 又∵平面,∴; …………………………………………6分 （Ⅱ）解：如解图所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，，. ∴，，. ……………………………8分 设平面的一个法向量为， 由可得： 令，得∴. ……10分 设直线与平面所成的角为， 则. ∴直线与平面所成的角的余弦值为. ……………………………12分 18.(本小题满分12分) 解:（Ⅰ）∵， 由正弦定理得, 即， ∵A+B+C=π，∴sin(A+C)=sinB，∴. …………………2分 又∵,即， ∴，而,∴. ………………………………………4分 又∵，即， 由余弦定理得. ∴. ………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）∵， ∴ ………………………8分 ∴. …………………………………………………………………………12分 19.(本小题满分12分) 解:（Ⅰ）依题意 ,由①+②得， ∴，又∵， ∴是以为首项，为公比的等比数列. ………………………………3分 由①-②得，，又∵， ∴是以为首项，为公比的等比数列. ………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ③ ， ④， ③+④得. …………………………………………………………9分 则 .…………………………………………………………………12分 20．(本小题满分12分) （Ⅰ）解：当时， ∴，且，则. ∴在处的切线方程为， 即. …………………………………………………4分 （Ⅱ）证明：由题可得，而， 当时，，则， 当时，，则， ∴当时，，在上是增函数. …………………………6分 设， 则， 当时,, 则,在上递减； …………………………………………………8分 不妨设，由于在上是增函数，则， 又∵，，则，于是， 由，在上递减， ………………………………………………10分 则. ∴，则. 又∵，在上是增函数，∴，即. ……12分 21. (本小题满分12分) 解：（Ⅰ）∵，∴为中点. 设的坐标为，∴ ∵，∴，，且过三点的圆的圆心为，半径为. …………………………………………………2分 ∵该圆与直线相切， ∴. 解得，所以，. ∴椭圆C的方程为. ……………………………………………………4分 （Ⅱ）设的方程为（），由 得. ∵直线与椭圆C有两个交点， ∴解得：，又∵，. 设，，则. ……………………………6分 ∴. = . ∵菱形对角线互相垂直，则. ∴. ∴. …………………………8分 ∵，∴. ∴. 即.∴. 解得. 即. ………………………………………10分 因为，所以. 故存在满足题意的点且的取值范围是. ………………………12分 （Ⅲ）①当直线斜率存在时，设直线方程为， 由（Ⅱ）知，，. 又∵，∴. ∴. ∴，. ∴. ∴. 整理得. …………………………10分 ∵，∴. 即. ∴.解得. 又∵，∴. ②当直线斜率不存在时，直线的方程为， 此时，，，， ，所以. ∴，即所求的取值范围是. ……………………12分 22. (本小题满分10分) 解：（Ⅰ）∵ 由，∴ ， ∴ 曲线的直角坐标方程为. …………………………………………5分 （Ⅱ）∵ 直线的参数方程为（t为参数） 由①×②+②×3得2x+3y=4-3=1， ∴直线的直角坐标方程为2x+3y=1，即， ………………………………6分 将直线方程，代入， 整理得：4x2-40x+1=0，∴x1+x2=10，x1·x2=， ∴|AB|= ……………………………………8分 ∵，∴|AB|= ……… ... ...