/ 一、拆分的基础知识 整数的拆分问题常常以计数问题、最值问题等形式出现，因此除了掌握有关的等差数列、数的整除、平均数等基本知识外，还要求掌握加法原理、乘法原理、枚举法、筛选法等基本的记数原理和方法。 二、拆分基本方法 1.题目要求拆质数且乘积最大———若可以拆相同的数字就按照“多拆3，少拆2，不拆1———拆分后乘积最大”原则。 2.若题目要求拆成若干个互不相同的自然数之和———要求这些自然数的乘积尽量大 应将数列拆分成：a234…的形式，但是实际计算的时候会发现一般不能拆成恰好相同，则： ⑴当多0时，将a拆成a234… (n-1) n； ⑵当多1时，将a拆成a345… (n-1) ( n-1)； ⑶当多2，3，…，n－1中的数时，就将该数从2，3，…，n－1，n中删除，其余数即为所拆之数。 例如：将30拆成若干个互不相同的自然数之和，要求这些自然数的乘积尽量大，应怎样拆？ 234567835 比30大5，故将5去掉 30被拆成234678 【例1】将15拆分成2个数的和，并且使这2个数的乘积最大，应该怎样拆分？最大值是多少？ 【巩固1】把11拆分成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何拆分？ 【巩固2】试把14拆分为两个自然数之和，使它们的乘积最大。 【例2】试把14拆分为3个自然数之和，使它们的乘积最大。 【巩固】试把19拆分为3个自然数之和，使它们的乘积最大。 【例3】试把1999拆分为8个自然数的和，使其乘积最大。 【巩固】试把1553拆分为6个自然数的和，使其乘积最大。 【例4】将一根长144厘米的铁丝,做成长和宽都是整数的长方形,共有 种不同的做法，其中面积最大的是哪一种长方形？ 【巩固】有长方形和正方形三块地。它们的周长是100米，它们的一条边长分别是30米，28米和25米。这三块中哪一块地最大？面积是多少？ 【例5】把14拆分成若干个自然数的和，再求出这些数的积，要使得到的积最大，应该把14如何拆分？这个最大的乘积是多少？ 【巩固】分别拆分2001、1994、1993三个数，使拆分后的积最大。 【例6】把72拆分成若干个互不相等的自然数之和，且使所有加数的乘积尽可能大，如何拆分？ 【巩固】把1993拆分成若干个互不相等的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？ 〖答案〗 【例1】将15进行拆分，并计算乘积 15114 11414 15213 21326 15312 31236 15411 41144 15510 51050 1569 6954 1578 7856 15拆分成7和8的和，乘积最大，是56 【巩固1】把11拆分成两个自然数的和，当不考虑加数的顺序时 有110，29，38，47，56五种方法 它们的乘积分别是：11010，2918，3824，4728，5630 显然，把11拆分成56时 有最大的积5630 【巩固2】把14拆分成两个自然数之和，共有7种不同的方式 若想乘积最大 1477，7749 因此，当把14拆分为两个7之和的时候，乘积(7749)最大 【例2】⑴由例1的说明对于两个数可知，假设nab (a≥b)且ab＞1时，乘积ab不是最大的。 换句话说，若nab (a≥b)，当a、b两数相等或差为1时，乘积ab取最大值。 ⑵那么对于三个数呢？ 假设nabc (a≥b≥c)且ac＞1时，乘积abc不是最大的。 若nabc (a≥b≥c)，当a、b、c中的任意两数相等或差为1时，乘积abc取最大值。 因为14342， 由分析可知：当ab5且c4时 乘积abc554100为最大值 【巩固】利用上面的结论可知，若nabc (a≥b≥c) 当a、b、c中的任意两数相等或差为1时，乘积abc取最大值 由分析可知：当ab6且c7时 乘积abc667252为最大值 【例3】反复使用上述结论，可知要使拆分成的8个自然数的乘积最大 必须使这8个数中的任意两数相等或差数为1 因为1999÷8249…7，199982497 由上述分析，拆法应是1个249，7个250 其乘积2492507为最大 【巩固】利用例题3的结论：可知要使拆分成的6个自然数的乘积最大 必须使这6个数中的任意两数相等 ... ...
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