【好题必练】第19章 矩形、菱形与正方形全章重点巩固训练题（一）（含答案）

第19章 矩形、菱形与正方形 本章重点巩固训练（一） 类型1 矩形的性质与判定 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=CF，连接OE，OF.求证：OE=OF. 2.如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F.求证：DF=DC. 3.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CF的延长线于F，且AF=BD，连接BF. （1）求证：D是BC的中点； （2）若AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论. 4.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M、N分别是AB、CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CHN （1）求证：∠PNM=2∠CBN； （2）求线段AP的长. 5.如图，在□ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F. （1）求证:△ABE≌△CDF； （2）若AB=DB，求证:四边形BFDE是矩形. 类型2 菱形的性质与判定 6.在菱形ABCD中，点E，F分别为边CD，AD的中点，连接AE，CF.求证：△ADE≌△CDF. 7.已知：如图所示，在□ABCD中，∠BAD的平分线与BC交于点E，∠ABC的平分线交AD于点P，AE、BF交于点O，连结EF.求证:四边形ABEF是菱形. 8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CH⊥AB于H，且交BD于点F，DE⊥AB于E，四边形CDEF是菱形吗？请说明理由. 9.菱形ABCD的边长为24cm.∠BAD=60°，质点P从点A出发沿着线路AB—BD—DA匀速前进，质点Q同时从点D出发沿着线路DC—CB—BD匀速前进. （1）求BD的长； （2）已知质点P、Q运动的速度分别为4cm/s、5cm/s，经过12s后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请问△AMN是哪一类三角形?并说明理由. 8.如图，在菱形ABCD中，P是AB上一个动点（不与A，B重合），连接DP交对角线AC于E，连接BE. （1）求证：∠APD=∠CBE； （2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？ 参 考 答 案 1.证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ADC=∠BCD=90° AC=BD，OD=BD，OC=AC， ∴OD=OC， ∴∠ODC=∠OCD， ∴∠ADC-∠ODC=∠BCD-∠OCD，即∠EDO=∠FCO. 又∵DE=CF， ∴△ODE≌△OCF（SAS）， ∴OE=OF. 2.证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AD∥BC，∠B=90°. ∵DF⊥AE， ∴∠AFD=∠B=90°. ∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠AEB. 又∵AD=AE， ∴△ADF≌△EAB（AAS）， ∴DF=AB， ∴DF=DC. 3.（1）证明：∵点E是AD的中点，∴AE=DE. ∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DCE，∠FAE=∠CDE. ∴∠EAF≌△EDC.∴AF=DC. ∵AF=BD， ∴BD=DC，即D是BC的中点. （2）四边形AFBD是矩形.证明如下： ∵AF∥BD，AF=BD， ∴四边形AFBD是平行四边形. ∵AB=AC，又由（1）可知D是BC的中点， ∴AD⊥BC. ∴四边形AFBD是矩形. 4.（1）证明:∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点， ∴MN//BC， ∴∠CBN=∠MNB， ∵∠PNB=3∠CBN， ∴∠PNM=2∠CBN. （2）如图，连结AN. 根据矩形的对称性可知∠PAN=∠CBN， 由（1），知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN. ∵MN∥AD. ∴∠PAN=∠ANM， ∴∠PAN=∠PNA， ∴AP=PN. ∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点， ∴DN=2. 设AP=x，则PD=6-x，PN=x. 在Rt△PDN中，PD2+DN2=PN2， ∴（6-x）2+22=x2，解得x=. 即AP的长为. 5.证明:（1）在ABCD中，AB=CD，∠A=∠C，AB∥CD， ∴∠ABD=∠CDB. ∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB， ∴∠ABE=∠ABD， ∴∠CDF=∠CDB， ∴∠ABE=∠CDF. 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（A.S.A.）. （2）由（1），知△ABE≌△CDF， ∴AE=CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴DE∥BF，DE=BF， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵AB=DB，BE平分∠ABD， ∴BE⊥AD，即∠DEB=90°， ∴平行四边形BFDE是矩形. 6.证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AD=CD， ?∵点E，F分别为边CD，AD的中点， ∴AD-2 ... ...