【2020赢在中考】数学二轮专题解读与强化训练 专题10 代数几何综合问题（含解析）

【2020赢在中考】数学二轮专题解读与强化训练专题 10 代几综合问题 代几综合题是指以几何元素为背景构造未知量或以代数整数为背景形成几何关系的综合题。涉及知识与园、方程，函数与三角形、四边形等相关知识为主，在方法上把解直角三角形、图形的变换、相似等与代数计算融为一起；在能力考查上体现方程与函数思想、转换思想、数形结合思想、分类讨论等数学思想方法。代几综合题是中考压轴题。 常见类型有： （1）以一次函数为母图，结合三角形、四边形、圆等图形知识 （2）以二次函数为母图，结合三角形、四边形、圆等图形知识 （3）以反比例函数为母图，结合三角形、四边形、圆等图形知识 当函数与几何图形相结合时，关键是要做好点的坐标与线段长短的相互转换，同时要考虑分类讨论。特别注意分类的原则是不重不漏、最简。 考向一　以一次函数为母图，结合三角形、四边形、圆等图形知识 例1．（2019年浙江省温州市）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE．动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某一点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点． （1）求点B的坐标和OE的长． （2）设点Q2为（m，n），当＝tan∠EOF时，求点Q2的坐标． （3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合． ①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式． ②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长． 【考点】一次函数综合题 【思路点拨】（1）令y＝0，可得B的坐标，利用勾股定理可得BC的长，进而求出OE的长， （2）如图1，作辅助线，证明△CDN∽△MEN，得CN＝MN＝1，计算EN的长，根据面积法可得OF的长，利用勾股定理得OF的长，由＝tan∠EOF和n＝﹣m+4，可得结论， （3）①先设s关于t成一次函数关系，设s＝kt+b，根据当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合，得t＝2时，CD＝4，DQ3＝2，s＝2，根据Q3（﹣4，6），Q2（6，1），可得t＝4时，s＝5，利用待定系数法可得s关于t的函数表达式， ②分三种情况： （i）当PQ∥OE时，如图2，根据cos∠QBH＝＝＝＝，表示BH的长，根据AB＝12，列方程可得t的值， （ii）当PQ∥OF时，如图3，根据tan∠HPQ＝tan∠CDN＝，列方程为2t﹣2＝，可得t的值． （iii）由图形可知PQ不可能与EF平行． 【解题过程】（1）令y＝0，则﹣x+4＝0， ∴x＝8， ∴B（8，0）， ∵C（0，4）， ∴OC＝4，OB＝8， 在Rt△BOC中，BC＝＝4， 又∵E为BC中点， ∴OE＝BC＝2， （2）如图1，作EM⊥OC于M，则EM∥CD， ∵E是BC的中点 ∴M是OC的中点 ∴EM＝OB＝4，OE＝BC＝2 ∵∠CDN＝∠NEM，∠CND＝∠MNE ∴△CDN∽△MEN， ∴＝1， ∴CN＝MN＝1， ∴EN＝＝， ∵S△ONE＝EN?OF＝ON?EM， ∴OF＝＝， 由勾股定理得：EF＝＝＝， ∴tan∠EOF＝＝＝， ∴＝＝， ∵n＝﹣m+4， ∴m＝6，n＝1， ∴Q2（6，1）， （3）①∵动点P、Q同时作匀速直线运动， ∴s关于t成一次函数关系，设s＝kt+b， ∵当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合， ∴t＝2时，CD＝4，DQ3＝2， ∴s＝Q3C＝＝2， ∵Q3（﹣4，6），Q2（6，1）， ∴t＝4时，s＝＝5， 将或代入得，解得：， ∴s＝﹣， ②（i）当PQ∥OE时，如图2，∠QPB＝∠EOB＝∠OBE， 作QH⊥x轴于点H，则PH＝BH＝PB， Rt△ABQ3中，AQ3＝6，AB＝4+8＝12， ∴BQ3＝＝6， ∵BQ＝6﹣s＝6﹣t+＝7﹣t， ∵cos∠QBH＝＝＝＝， ∴BH＝14﹣3t， ∴PB＝28﹣6t， ∴t+28﹣6t＝12，t＝， （ii）当PQ∥OF时，如图3，过点Q作QG⊥AQ3于点G，过点P作PH⊥GQ于点H， 由△Q3QG∽△CBO得：Q3G：QG：Q3Q＝1：2：， ∵Q3Q＝s＝t﹣， ∴Q3G＝t﹣1，GQ＝3t﹣2， ∴PH＝AG ... ...