18.2.2 菱形（打印版+答案版+学霸笔记）

2020春人教版八下数学同步精练18.2.2　菱形 基础知识梳理练 1.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2.菱形的四条边都相等. 3.菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角. 4.菱形是轴对称图形,有两条对称轴,对角线所在的直线是对称轴. 5.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 6.四条边相等的四边形是菱形. 教材要点分类练 知识点一 菱形的定义 7.(40732242)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步骤作图:第一步,分别以点A,D为圆心,以大于12AD的长为半径在AD两侧作弧,交于两点M,N;第二步,连接MN分别交AB,AC于点E,F;第三步,连接DE,DF,则可以得到四边形AEDF的形状(C) 　　　　　　　　　　　　　　 A.仅仅只是平行四边形 B.是矩形 C.是菱形 D.无法判断 第7题图 第8题图 8.(40732243)如图,在△ABC中,点D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,使四边形AFDE为菱形,应添加的条件是AF=AE(答案不唯一)(添加一个条件即可). 9.(40732244)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F,并且DE=DF.求证:四边形ABCD是菱形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C. ∵DE⊥AB,DF⊥BC, ∴∠AED=∠CFD=90°. 又∵DE=DF,∴△ADE≌△CDF. ∴DA=DC.∴平行四边形ABCD是菱形. 知识点二 菱形的性质 10.(40732246)已知一个菱形的边长为2,较长的对角线长为23,则这个菱形的面积是23. 11.(40732247)(中考·日照)如图,已知菱形ABCD的边长为2 cm,∠BAD=120°,对角线AC,BD相交于点O. (1)求证:△ABC是等边三角形; (2)求对角线AC与BD的长. (1)证明:在菱形ABCD中, ∠BAC=12∠BAD=12×120°=60°, AB=BC,∴△ABC是等边三角形. (2)解:在等边△ABC中,AC=AB=2 cm. 在菱形ABCD中,AC⊥BD,∴OA=1 cm. 在Rt△AOB中,由勾股定理,得 BO=AB2-AO2=22-12=3(cm), ∴BD=2BO=23(cm). 知识点三 菱形的判定 12.(40732248)(中考·日照)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,添加下列条件,不能判定四边形ABCD是菱形的是(B) A.AB=AD B.AC=BD C.AC⊥BD D.∠ABO=∠CBO 13.(40732249)如图,已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别交于点E,F,求证:四边形AFCE是菱形. 证明:(方法1)∵四边形ABCD是矩形,∴AE∥FC, ∴∠EAC=∠ACF. ∵EF平分AC,∴AO=OC. 又∵∠AOE=∠COF=90°, ∴△AOE≌△COF,∴EO=FO, ∴四边形AFCE是平行四边形. 又∵EF⊥AC,∴?AFCE是菱形. (方法2)同上,可证△AOE≌△COF, ∴AE=CF.∵EF垂直平分对角线AC, ∴AE=CE,AF=CF.∴AE=CE=CF=AF, ∴四边形AFCE是菱形. (方法3)同方法1,可证四边形AFCE是平行四边形. ∵EF垂直平分对角线AC, ∴AE=CE,∴?AFCE是菱形. 能力提升创新练 14.(40732250)如图,已知在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OC,OB=OD,过O点作EF⊥BD,分别交AD,BC于点E,F. (1)求证:△AOE≌△COF; (2)判断四边形BEDF的形状,并说明理由. (1)证明:∵OA=OC,OB=OD, ∴四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC, ∴∠EAO=∠FCO. 在△AOE和△COF中,∠EAO=∠FCO,OA=OC,∠AOE=∠COF, ∴△AOE≌△COF. (2)解:结论:四边形BEDF是菱形.理由如下: ∵△AOE≌△COF,∴AE=CF, ∵AD=BC,∴DE=BF, ∵DE∥BF,∴四边形BEDF是平行四边形, ∵OB=OD,EF⊥BD,∴EB=ED, ∴平行四边形BEDF是菱形. 15.(40732251)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,分别延长OA,OC到点E,F,使AE=CF,依次连接B,F,D,E各点.求证:BE=BF. 证明:∵菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, ∴AB=BC,∠BAC=∠BCA. ∴∠BAE=∠BCF. 在△BAE与△BCF中, BA=BC,∠BAE=∠BCF,AE=CF, ∴△BAE≌△BCF.∴BE=BF. 16.(40732252)如图,在平面直角坐标系中,菱形OBCD的顶点O,D的坐标分别是(0,0),(3,4),求顶点C的坐标. 解:∵D(3,4),∴OE=3,DE=4. ∴OD=DE2+OE2=5. ∵四边形ODCB是菱形, ∴OD=CD=5. ∴点C的横坐标 ... ...