人教版数学七年级下册 第5章 相交线与平行线竞赛题选讲

人教版数学七年级下册 第5章 相交线与平行线竞赛题选讲 在竞赛试题中，平行和垂直是做为基础知识应用在一些综合性的题目之中，单独出题的情况很少，但当平行和垂直的性质与实际情况结合时，往往也会被做为新题型来考查. ??? 【例1】 请说明在同一平面内三条直线的位置关系及交点个数. ??? 【思考与分析】 本题有多种分类，如以两条直线的位置关系分类，再考虑第三条直线的位置；又如以三条直线交点的个数分类等.下面我们就第二种分类加以说明. ??? 解： （1）如图1，三条直线互相平行，此时交点个数为0； ??? （2）如图2，三条直线相交于同一点，此时交点个数为1； ??? （3）如图3，三条直线两两相交且不交于同一点，此时交点个数为3； ??? （4）如图4，其中两条直线平行，都与第三条直线相交，此时交点个数为2. ??? 综上所述，平面内三条直线的交点个数为0或1或2或3个. ??? （如果按第一种情况进行分类研究，又该如何呢？请大家思考一下.） 反思：求解中（2）、（3）两种情况称为三条直线两两相交.当题目中图形不全或不确定时，我们一定要注意分类. ??? 【例2】 （1）请你在平面上画出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，并简单说明画法. ??? （2）能否在平面上画出7条直线（任意3条都不共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，如果能，请画出一例，如果不能，请简述理由. ?? 【思考与分析】 “6条直线相交且任意3条都不共点”，要解决这个问题，我们可以首先画出两条相交直线，这样可以发现若不出现3条直线共点可以出现平行线.对于（2）中所求，可以根据（1）得到的结论先对其进行推理，不要盲目的画图. ??? 解：（1）在平面上任取一点A，过A作两直线m1与n1.在n1 上取两点B、C，在m1上取两点D、G.过B作m2∥m1，过C作m3∥m1，过D作n2∥n1，过G作n3∥n1，这时m2、m3、n2、n3交得E、F、H、I四点，如图所示.由于彼此平行的直线不相交，所以，图中每条直线都恰与另3条直线相交. ??? （2）在平面上不能画出没有3线共点的7条直线，使得其中每条直线都恰与另外3条直线相交. 　????理由如下：假设平面上可以画出7条直线，其中每一条都恰与其它3条相交，因两直线相交只有一个交点，又因没有3条直线共点，所以每条直线上恰有与另3条直线交得的3个不同的交点.根据直线去数这些交点，共有3×7＝21个交点，但每个交点分属两条直线，被重复计数一次，所以这7条直线交点总数为因为这与交点个数应为整数矛盾.所以，满足题设条件的7条直线是画不出来的. 反思：本题在说明理由时应用了假设法.利用假设推导出结果是否与题中条件冲突.这与我们以后要学的反证法相类似. 【例3】 平行直线AB和CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有（????? ）对. A. 4对?? B. 8对??? C. 12对?? D. 16对 ??? 【思考与解】我们可将原图分解为八个“三线八角”即“直线AB和CD 被直线EF所截”、“直线AB和CD 被直线GH所截”、“直线EF和GH被直线AB所截”、“直线EF和GH被直线CD所截”、“直线AB和EF被直线GH所截”、“直线EF和CD 被直线GH所截”、“直线AB和GH被直线EF所截”、“直线GH和CD 被直线EF所截”.每一个“三线八角”都有两对同旁内角，故原图中共有16对，因此选择D. ??? 【小结】解这类问题，关键是如何用图形分解法把图形分成若干个“三线八角”. 【例4】 有10条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现有31名交警，刚好满足每个岔口有且只有一名交警执勤，请你画出公路示意图. ??? 【思考与解】 我们可以把公路想象成直线，岔口想象成交点，由警察的人数及题意可知，10条直线刚好有31个交点.根据前面所学知识，平面上的10条直线，若两两相交，最多出现45个交点， ... ...