2019-2020学年新教材人教B版第3册课件+学案+练习：8.2　三角恒等变换 (20份打包)

8.2　三角恒等变换 8.2.1　两角和与差的余弦 学 习 目 标 核 心 素 养 1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．(难点) 2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式．(重点) 3.能利用两角和与差的余弦公式化简、求值．(重点) 1.通过两角和与差的余弦公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养． 2.借助两角和与差的余弦公式的应用，培养学生的数学运算核心素养. 两角和与差的余弦公式 Cα＋β：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β. Cα－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β. 思考：用向量法推导两角差的余弦公式时，角α、β终边与单位圆交点P1、P2的坐标是怎样得到的？ [提示]　依据任意角三角函数的定义得到的．以点P为例，若设P(x，y)，则sin α＝，cos α＝，所以x＝cos α，y＝sin α，即点P坐标为(cos α，sin α). 1.cos 22°cos 38°－sin 22°sin 38°的值为(　　) A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． A　[原式＝cos(22°＋38°)＝cos 60°＝.] 2.化简cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β为(　　) A．sin(2α＋β) B．cos(2α－β) C．cos α D．cos β C　[原式＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.] 3.cos(－40°)cos(－20°)－sin(－40°)sin(－20°)＝_____. 　[cos(－40°)cos(－20°)－sin(－40°)sin(－20°) ＝cos[(－40°)＋(－20°)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝.] 利用两角和与差的余弦公式化简求值 【例1】(1)cos 345°的值等于(　　) A．　　　 B． C． D．－ (2)化简下列各式： ①cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)； ②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°. [思路探究]　利用诱导公式，两角差的余弦公式求解． (1)C　[cos 345°＝cos(360°－15°) ＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝.] (2)[解]　①原式＝cos[(θ＋21°)－(θ－24°)] ＝cos 45°＝，所以原式＝. ②原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)sin(360°－47°)＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47° ＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43° ＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝. 1.在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体． 2.两角和与差的余弦公式在求值应用中的一般思路： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值． (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值． 1.求下列各式的值： (1)cos ； (2)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)； (3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α)． [解](1)cos ＝cos＝－cos ＝－cos＝－cos ＝－ ＝－＝－. (2)原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280° ＝－sin 80°sin 20°－cos 20°cos 80° ＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°) ＝－cos 60°＝－. (3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α) ＝cos[(α＋20°)＋(40°－α)] ＝cos 60°＝. 给值(式)求值 【例2】(1)已知cos α＝，α∈，则cosα－＝_____. (2)α，β为锐角，cos(α＋β)＝，cos(2α＋β)＝，求cos α的值． [思路探究](1)可先求得sin α，再用两角差的余弦公式求cos. (2)可考虑拆角即α＝(2α＋β)－(α＋β)来求cos α. (1)　[因为cos α＝，α∈， 所以sin α＝－， 所以cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝.] (2)[解]　因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π. 又因为cos(α＋β)＝，所以0<α＋β<， 所以0<2α＋β<π. 又因为cos(2α＋β)＝， 所以0<2α＋β<， 所以sin(α＋β)＝ ... ...