并集、交集 【学习目标】 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单的集合并集与交集； 【要点梳理】 要点一、并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB} Venn图表示： 要点诠释： （1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”． （2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只出现一次）． 要点二、交集 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示： 要点诠释： （1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是． （2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”． （3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合． 要点三、集合基本运算的一些结论 若A∩B=A，则，反之也成立 若A∪B=B，则，反之也成立 若x（A∩B），则xA且xB 若x（A∪B），则xA，或xB 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法． 【典型例题】 类型一、并集 例1．集合,,若,则的值为 （ ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】 D 【解析】∵,,∴∴,故选D． 例2． 已知A={x|x2+px+q=0}，B={x|x2-qx+2p=0}，若A∩B={1}，则A∪B=（ ） A． B． {1} C． {1，-3，-4} D． 【思路点拨】充分利用集合A，B是两个一元二次方程的解集这一条件，再根据A∩B={1}知1是两个方程的根进行求解． 【解析】由题意知集合A，B是两个一元二次方程的解集，若A∩B={1}，则x=1是以上两个一元二次方程的公共解，即x=1同时满足两个一元二次方程． 由此可得 ∴ 正确选项为A． 举一反三： 【变式】设集合A={2，a2-2a，6}，B={2，2a2，3a-6}，若A∩B={2，3}，求A∪B． 【解析】由A∩B={2，3}，知元素2，3是A，B两个集合中所有的公共元素，所以3｛2，a2-2a，6｝，则必有a2-2a=3，解方程a2-2a-3=0得a=3或a=-1 当a=3时，A={2，3，6}，B={2，18，3} ∴A∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝ 当a=-1时，A={2，3，6}，B={2，2，-9} 这既不满足条件A∩B={2，3}，也不满足B中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去． 例3．（1）已知：M={x|x≥2}，P={x|x2-x-2=0}，求M∪P和M∩P； （2）已知：A={y|y=3x2}， B={y|y=-x2+4}， 求：A∩B，A∪B； （3）已知集合A={-3， a2 ，1+a}， B={a-3， a2+1， 2a-1}， 其中aR，若A∩B={-3}，求A∪B． 【答案】（1）{x|x≥2或x=-1}，{2}；（2）{y|0≤y≤4}，R；（3）{-4，-3，0，1，2}． 【解析】（1）P={2，-1}，M∪P={x|x≥2或x=-1}，M∩P={2}． （2）∵A={y|y≥0}， B={y|y≤4}， A∩B={y|0≤y≤4}， A∪B=R． （3）∵A∩B={-3}，-3B，则有： ①a-3=-3 ( a=0， A={-3，0，1}， B={-3，1，-1}(A∩B={-3，1}，与已知不符，∴a≠0； ②2a-1=-3(a=-1， ∴ A={-3，1，0}， B={-4，2，-3}， 符合题设条件，∴A∪B={-4，-3，0，1，2}． 【总结升华】此例题既练习集合的运算，又考察了集合元素的互异性．其中（1）易错点为求并集时，是否意识到要补上孤立点-1；而（2）中结合了二次函数的值域问题；（3）中根据集合元素的互异性，需要进行分类讨论，当求出a的一个值时，又要检验是否符合题设条件． 举一反三： 【变式】设集合A={2，a2-2a，6}，B={2，2a2，3a-6}，若 ... ...
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