函数与方程 【学习目标】 (1)重点理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点； (2)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联系； (3)根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点近似解的常用方法. 【经典例题】 类型一、求函数的零点 例1．已知函数． （1）解方程(x+3)(x+1)(x―2)=0； （2）画出函数的图象（简图），并求出函数的零点； （3）讨论函数在零点两侧的函数值的正负． 【解析】（1）方程有三个根x1=―3，x2=―1，x3=2． （2）函数的图象如右图，零点为―3，―1，2． （3）由函数的图象可以直观地看出，在函数的零点―3左侧的函数值为负，在零点―3的右侧与零点―1的左侧的函数值为正，零点―1的右侧与零点2的左侧的函数值为负，零点2右侧的函数值为正． 【总结升华】（1）方程(x+3)(x+1)(x―2)=0左边是三个因式的积的形式，只要有一个因式为0，方程就成立，所以x+3=0或x+1=0或x―2=0，所以x=―3或x=―1或x=2； （2）可以用描点的方法画出函数图象的简图； （3）在x轴的上方，纵坐标为正，相应的函数值就为正；在x轴的下方，纵坐标为负，相应的函数值就为负． 举一反三： 【变式1】已知函数，且m，n是方程的两个根（m＜n），则实数a、b、m、n的大小关系可能是（ ） A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．m＜a＜n＜b D．a＜m＜b＜n 【答案】 B 【解析】由函数，我们可以看到a、b为的零点，且，如右图，则应有a＜m＜n＜b，故选B． 例2. 求下列函数的零点. (1)； (2). 【答案】（1）；（2）-1，1． 【解析】根据函数零点与方程的根之间的关系，要求函数的零点，就是求相应方程的实数根. (1)由得，所以函数的零点是； (2)由，令得x=1，-1，故函数的零点是-1，1. 【总结升华】求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点. 举一反三： 【变式1】求函数：(1)；(2)的零点. 【答案】（1）-3，1；（2）-3，1，2． 【解析】(1)由求根公式解得 (2)方程可化为 由知 所以函数的零点为-3，1；函数的零点为-3，1，2. 【总结升华】三次因式分解的关键是，裂项后的两组分别要有公因式可提取，函数求零点的题目和解方程的题目可相互转化. 类型二、函数零点的存在性定理 例3．已知函数，问：方程在区间内有没有实数根？为什么？ 【答案】没有实数根 【解析】先求出及的值，进而确定和的符号，当它们其中一个值小于零另一个值大于零时，便可确定在上有实数根． ， 且函数的图象是连续曲线， 在区间内有实数根 【总结升华】利用函数零点的存在性定理可以判断方程在某区间内是否有实数根，是利用计算机求方程近似根的重要依据，因此必须熟练掌握这个定理．需要注意的是，方程在区间内有实数根，不一定有． 举一反三： 【变式1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点： （1） （2）； 【答案】（1）存在；（2）存在；（3）存在． 【解析】（1） 故在上存在零点． （2） 故在区间上存在零点． 【变式2】若函数，则下列判断正确的是（ ） A．方程f（x）=0在区间[0，1]内一定有解 B．方程f（x）=0在区间[0，1]内一定无解 C．函数f（x）是奇函数 D．函数f（x）是偶函数 【答案】A 类型三、一元二次方程根的分布 例4． 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0． （1）若方程有两根，其中一根在区间（―1，0）和（1，2）内，求的取值范围． （2）若方程两根均在区间（0,1）内，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 （1）条件说明函数的零点在区间（-1,0）和（1,2）内，由图1可知， ，∴． ∴． （2）∵函数的零点在区间（0，1）内，由图2知必有． ∴． ∴． ... ...
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