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课件网) 17.4一元二次方程根与系数的关系 沪科版 八年级下 新知导入 问题：1.一元二次方程根的情况如何确定？ 答：①当 >0时，一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当 =0时，一元二次方程有两个相等的实数根； ③当 <0时，一元二次方程没有实数根。 2.一元二次方程根与根之间有什么关系呢？ 新知讲解 探究：先解方程再填表： 根与系数有什么关系？ 方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 x2+2x-15=0 -5 3 -2 -15 3x2-4x+1=0 1 1/3 4/3 1/3 2x2-5x+2=0 2 1/2 5/2 1 新知讲解 根据你的观察，猜想：方程ax2+bx+c=0 (a≠0）的根如果是x1，x2，那么x1+x2=———，x1x2=———. 你能证明上面的猜想吗？ 我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0）的两根为： x1= x2 = 所以x1+x2= + = 新知讲解 x1x2= . = 由此得出，一元二次方程根与系数之间存在下列关系： 如果一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0）的根是x1，x2， 那么x1+x2=———，x1x2=———. 这个关系通常称为韦达定理。 当一元二次方程的二次项系数为1时，它的标准形式为x2+px+q=0设两根是x1，x2，这时韦达定理应是：x1+x2=- p， x1x2=q. 新知讲解 例1.已知关于X的一元二次方程2x2+kx-4=0的一个根是-4，求另一个根及k的值. 解：设方程的另一根是x2，则 解得： 答：方程的另一根是1/2，k=7 -4+x2=-k/2 -4x2=-4/2 x2=1/2 k=7 新知讲解 例2.方程x2-3x-4=0的两个根记作x1，x2，不解方程，求下列各式的值。 （1）x12+x22 （2）（x1+1）（x2+1） （3）1/ x2+1/x1 （4）x12x2+x1x22 （5） x1-x2 （6）x12-x22 解：由韦达定理得：x1+x2= 3 x1x2=-4 （1）x12+x22=（x1+x2）2-2 x1x2=32-2×（-4）=17 新知讲解 （2）（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=-4+3+1=0 （3）1/ x2+1/x1 =（x12+x22）/x1x2=-17/4 （4）x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）=-4×3=-12 （5） x1-x2 （x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=9+16=25，故x1-x2=±5 （6）x12-x22 =（x1+x2）（x1-x2）=3×（±5）=±15 新知讲解 例3.若长方形的长和宽是方程4x2-12x+3=0的两个根，求该长方形的周长和面积。 解：设长方形的长和宽分别是a,b. 根据韦达定理得： 故长方形的周长为C=2(a+b)=2×3=6 长方形的面积为S=ab=3/4 a+b=3 ab=3/4 新知讲解 例4.已知两数的和为2，积为-2，求这两个数。 解：设这两个数分别为a，b. 由题意得： 所以a，b是一元二次方程x2-2x-2=0的两个根. 解这个方程得： 所以这两个数分别为1+ 和1- a+b=2 ab=-2 课堂练习 1.一元二次方程x2+x-2=0的两根之积是（ ） A. -1 B. -2 C. 1 D.2 2.一元二次方程x2+4x-3=0的两根为x1，x2，则x1x2的值为（ ） A. 4 B. -4 C. 3 D.-3 3.已知方程2x2+4x-3=0的两根为x1，x2，则x1+x2的值为———. B D -2 课堂练习 4.已知-1是方程x2+bx+1=4的一个根，求它的另一个根及b的值. 解：设另一个根为a,原方程可化为x2+bx-3=0 根据韦达定理得： 解得：a=3，b=-2 所以原方程的另一个根a=3及b的值为-2. -1+a=-b -1×a=-3 课堂练习 5.若x1，x2是一元二次方程x2+2x-2017=0的两根，求下列各式的值： （1）x12+x22 （2）（x1-5）（x2-5） （3）│x1-x2│ 解:根据韦达定理得：x1+x2=-2， x1x2=-2017 （1）x12+x22=（x1+x2）2-2 x1x2=（-2）2-2×（-2017）=4038 （2）（x1-5）（x2-5）=x1x2-5（x1+x2）+25=-2017-5×（-2）+25=-1982 （3）（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=4-4×（-2017）=8072， 故│x1-x2│=8072 拓展提高 6.已知x1，x2是关于X的方程x2-2（m+1）x+m2+5=0的两个实数根. （1）（x1-1）（x2-1）=28，求m的值. （2）已知等腰 ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是 ABC另外两边的长求这个三角形的周长。 解：根据韦达定理得：x1+x2=2（m+1）， x1x2=m2+5 （1）（x1- ... ...
