第二章 火眼辨垂直 垂直自然可以与90°划上等号，所以找垂直就相当于找90°. 一、平分180° 平角情况 平行条件下同旁内角情况 例题1、如图，将一平行四边形纸片ABCD沿AE，EF折叠，使点E，B’，C’在同一直线，再将折叠的纸片沿EG折叠，使AE落在EF上，则∠AEG=_____°. 【解答】45°. 例题2、一张矩形纸片经过折叠得到一个三角形（如图），则矩形的长与宽的比为_____. 【解答】2： 二、等腰+中点/角平分线（三线合一） 例题1、如图所示，AC和BD相交于点P，BA=BP，CP=CD，且E、F、G、H分别为AP、DP、BC、EF的中点，试说明：GH⊥EF. 【解答】连接线段BE，EG，GF，FC.∵BA=BP，CP=CD，E、F分别是AP、PD的中点，∴BE⊥AP，CF⊥PD（三线合一），又∵G为BC的中点，∴EG=，FG=，∴EG=FG.又∵H为EF的中点，∴GH⊥EF. 三、暗藏勾股 例题1、如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB=，AC=2，BD=4，则AE的长为_____. 【解答】. 例题2、蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上.设AB边如图所示，C为格点，则△ABC是直角三角形的个数有_____. 【解答】10个. 例题3、如图，抛物线交x轴于A（-3，0）、B（1，0）两点，交y轴于点C. （1）求p、q的值； （2）设抛物线的顶点为点D，连接AC、AD、CD，试探究：在坐标轴上是否存在这样的点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【解答】解：（1）把A（﹣3，0）、B（1，0）代入，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3； （2）连接AC，易得：CD＝，AC＝3，AD＝2，∴CD2+CA2＝AD2，①计算可知Rt△COB∽Rt△ACD，得符合条件的点为O（0，0）；②过B作BP2⊥BC交y轴正半轴于P2，可知Rt△CBP1∽Rt△COB∽Rt△ACD，求得符合条件的点为P2（0，）；③过C作CP3⊥BC交x轴负半轴于P3，可知Rt△P2CB∽Rt△COB∽Rt△ACD，求得符合条件的点为P3（-9，0）．∴符合条件的点有三个：（0，0），P2（0，），P2（-9，0）． 四、一次函数的“k”互为负倒数 已知：，：，若，则. 例题1、在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与x轴交于点B，与交于点P，连接OP，当AB=20P时，b的值为_____. 【解答】. 五、菱形对角线 例题1、如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50，则菱形的边长为_____cm. 【解答】13. 例题2、如图，菱形ABCD的对角线相交于点E，以AD为斜边向上作等腰Rt△AFD，AF=FD，已知AD=2，∠BAD=120°，则EF的长为_____. 【解答】. 六、有直径 例题1、平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，4），点D为0B上任意一点，连接AD，以OD为直径的圆交AD于点E，则线段BE的最小值为_____，此时E的坐标为_____. 【解答】解：如图，∵OD是直径，∴∠OED＝∠OEA＝90°，∴点E的运动轨迹是以OA为直径的圆，设OA的中点为K，连接BK，当点E在BK上时，BE的长最短，∵A（4，0）、B（0，4），∴OA＝PB＝4，∵OK＝KA＝2，∴EK＝OA＝2，BK＝＝2，∴BE的最小值为. 作EH⊥OA于H，∵EH∥OB，∴，∴，∴EH＝，KH＝，∴OH＝2﹣，∴E（2﹣，）． 例题2、如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的圆分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB. （1）求证：直线BF是圆O的切线； （2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长. 【解答】（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠1+∠2＝90°．∵AB＝AC， ∴∠1＝∠CAB．∵∠CBF＝∠CAB，∴∠1＝∠CBF，∴∠CBF+∠2＝90°，即∠ABF＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线． （2）解：过点C作CG⊥AB于G．∵sin∠CBF＝，∠1＝∠CBF，∴sin∠1＝ ... ...
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