第九讲 恒等式的证明 【趣题引路】 请证明下列恒等式： 考虑，，…，于是左边乘以：左边=这里的技巧在于添乘（1－x）后，能反复运用平方差公式在恒等式的证明中类似的技巧很多，下面逐一介绍. 【知识拓展】 1.如果两个代数式A和B，对于它们的变数字母在允许取值范围内的任意取值，它们都有相同的值，那么就说这两个代数式是恒等的，一般记作A=B，有时也记作A=B，这样的等式就称为恒等式，而把一个代数式变成另一个与它恒等的代数式就叫做代数式的恒等变形。 2.恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等。通常的证明方法有：（1）将左边转化到右边，或将右边转化为左边，一般是从复杂的一边向简单的一边转化；（2）将两边都变形，化成同一个代数式；（3）证明左边－右边=0或=1，此时右边≠0.（4）换元法：对于结构较复杂但又有许多典型结构的恒等式可用此法。 3.对于有条件限制的恒等式的证明：常要变换条件并灵活运用条件，方能使等式得到证明. 一、无条件恒等式的证明 1.左右法 例1 求证： 解析 直接通分难度太大，考虑一、二项作一组通分，后两项作一组通分。 证明 左边= = =. 点评：后两项通分后分子分母出现公因式，从而化难为易.恒等式的证明往往从结构较复杂的一边开始. 2.作差法 例2 证明： 解析 因左边三个分式的分母都是右边分式分母的a倍，考虑作差通分化简求证。 证明左边－右边= =. 因此原等式成立. 3.换元法 例3 证明：" 解析 左边结构对称，考虑换元 证明 设x－y=a，y－2=b，z－x=c， 则x－2y＋z=a－b，x＋y－2z=b－c，y＋z－2x=c－a， ∴左边=－= = = =. 4.裂项相抵法 例4 求证： 解析 将每一项拆成两项之差再求和. 解 左边==右边. 原式得证 5.因式分解法 例5证明：. 解析 注意到，等式左边除第一项外，各项都有公因式1－a，除每一项和第二项外，各项都有，等等，我们可以利用右边的1和左边的第一项，构成因式，然后采取逐步提取公因式法。 证明 要证原等式等价于 =， 该式左边= = =… ==右边 故原式得证. 二、条件等式的证明方法 1.将已知等式直接代入求证式 例6 已知：，求证：. 解析 将待证式左边展开再代人已知条件. 证明 左边= = ==右边. 2.适当变换条件得出求证式 例7 已知：，求证：. 解析 求证的式子中出现一次多项式，想到要对已知条件变形。 证明∵ ∴. ∴（b＋c）（b－c）=（a＋b）（a－b）. ∴（b＋c）（b－c）（c＋a）=（a＋b）（a－b）（c＋a）. ∴. ∴. ∴. 3.适当变换已知条件再代入求证式 例8 已知：求证： 解析 从右边入手较方便，需用含a、b、c的式子表示x、y、z. 证明将已知条件变为 ∴右边=xyz＋x＋y＋z = = ==左边， ∴左边=右边，等式成立 【好题妙解】 佳题新题品味 例1 求证： 解析 运用等式 证明∵左边 = = = =右边. 故等式成立. 例2 已知，且，求证： 解析 本题六个字母a、b、c、x、y、z，它们的基本量由已知表明是x、y、z，本题思路很清晰，应该由基本量x、y、z表示出，再相加出结果 证 .............................................① ................................................② ................................................ ③ ①＋②＋③得. 等式成立 例3 已知abc、d为四边形的四条边，且，求证此四边形是菱形。 解析 需证明a＝b＝c＝d，设法配方． 证明：∵． ． 即（． ，，． a＝b＝c＝d． 因而四边形是菱形． 中考真题欣赏 例（江苏秦州市）阅读下面材料，并解答下列各题： 在形如的式子中，我们已经研究过两种情况： ①已知a和b，求N，这是乘方运算； ②已知b和N，求a，这是开方运算； 现在我们研究第三种情况；已知a和N，求b，我们把这种运算叫做对数运算定义；如果（a＞0，al，N＞0），则b叫做以a为底N的对数，记作． 例如；因为，所 ... ...
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