第十六讲 比例线段 【趣题引路】 如图，在△ABC的边上有一异于中点的动点P，若P点沿平行于BC的方向运动到AC边于D，再沿平行于AB方向运动到BC边于E……，如果每沿平行于某一边方向运动到另一边于一点算作一次，那么这样运动2001次，点P到达的位置在哪里？ 解 如图，由于每次运动都平行于每一边， ∴ ∴∴， ∴ ∴AP=AM，于是点P经过六次运动返回到原出发点P， ∵2001=6×333+3， ∴点P经过2001次运动到点F处． 【知识拓展】 比例线段是研究相似三角形的重要手段，解决比例线段问题时，一要掌握和运用比例性质，如比例的基本性质、反比定理、合比定理、分比定理、等比定理等；二要熟悉产生比例线段的常见途径： （1）平行线截割； （2）线段等积变形； （3）面积等式变形； （4）角平分线性质； （5）相似形． 平行线分线段成比例定理及其逆定理和推论，可以解决线段成比例或直线平行问题，因而作平行线构造比例线段是本节问题中的常用技巧． 一、巧用比例性质解题 例1 已知：p+q+r=9，且，则等于（） A．9 B．10 C．8 D．7 解析 从结论的结构看，将已知中的等式各分子、分母分别乘以x、y、z，再由等比的性质即可求出代数式的值． 解 ① ② 由①、②得： ∵x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)， ∴. ∵p+q+r=9，∴，故选A． 二、构造比例线段解题 例2（江苏省初中竟赛题）如图，过△ABC顶点B的两条直线分三角形BC边上的中线AD所成的比AE:EF:FD=4：3：1，则这两直线分AC所成的比AG:GH:HC为（） A．4：5：3 B．3：4：2 C．2：3：1 D．1：1：1 解析 由已知线段比想到平行线分线段成比例，先构造平行线． 解 作DM∥BH交AC于M， 则， ∵D是中点， ∴M是HC的中点． ∴ 作DN//BG交AG于N，则G为AN的中点，N为GC的中点，设HC=2k，则AH=7k，AC=9k， ∴AG=3k，GH=4k，故AG:GH:HC=3：4：2． 故选B． 例3 如图，P为△ABC的中位线DE上一点，BP交AC于N，CP交AB于M．求证: ． 解析 为达到与“通分”的目的，确定以BC为“公分母”，于是想到构造平行四边形HBCG；过A作BC的平行线分别交直线BN、CM于G、H．连结GC、HB．这样就出现了我们需要的比例式：，． 证明 由作图可知HG//DE//BC． 由D为AB中点，可知P为BG、CH的中点，故四边形BCGH为平行四边形，有： ， ∴ 即 ． 三、巧用角平分线性质解题 在△ABC中，若∠A的平分线交BC于点D，则．利用这个性质可实现线段比例的转换． 例4 如图，△ABC中，AD是角平分线，且，求∠BAC的度数． 解析 由AD是角平分线想到过B作BE∥AD交CA的延长线于E，从而得∠1=∠2=∠E=∠3，猜测△ABE为等边三角形.若能证明BE=AB，问题就明朗了． 解 作BE∥AD交CA延长线于E． 由得 ① 由角平分线定理，得， ∴ 即② 由①②，得 又AD//BE， ∴ 故AB=BE 由AD//BE知∠1=∠2=∠3=∠E， ∴AE=AB，∴△ABE是等边三角形，∠BAE=60° ∴∠BAC=120° 点评 猜测结论是数学思维的一种，它基于对图形的深入认识和平时解题经验的积累． 四、利用相似三角形的性质研究线段比例 例5 求证：顶角为36°等腰三角形的底与腰之比等于黄金数． 已知如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=36°． 求证：． 解析 若将三角形分成两个相似三角形，可找到AB、AC间的关系式． 证明 作∠CBA的平分线DB交AC于D． ∵∠C=36°，AC=BC，∴∠CBA=72° ∴∠DBA=∠DBC=∠C.∵∠A=∠A， ∴△BAD∽△CAB.∴ ∴CD=BD=AB ∴ ∴AB2=AC2-AB·AC 即 ∴或（舍去） ∴命题成立． 点评 顶角为36°的等腰三角形的底与腰之比等于黄金分割比，顶角为108°的等腰三角形的腰与底之比等于黄金分剖比，因此，常把这两种三角形称之为黄金三角形． 例6 如图，在△ABC中，已知∠A：∠CBA：∠BCA=1：2：4，求证：． 解析 延长AB至D，使BD=BC，连接CD，在AB上取一点E，使ED=CD，设∠A=a，则 ... ...
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