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课件网) 第19课时 矩形、菱形、正方形 考点梳理 自主测试 考点一 矩形的性质与判定 1.定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2.性质 (1)矩形的对边平行且相等; (2)矩形的四个角都是直角; (3)矩形的对角线相等; (4)矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴,它的对称中心是对角线的交点. 3.判定 (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形; (2)有三个角是直角的四边形是矩形; (3)对角线相等的平行四边形是矩形. 考点梳理 自主测试 考点二 菱形的性质与判定 1.定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2.性质 (1)菱形的对边平行,四边都相等; (2)菱形的对角相等; (3)菱形的对角线互相垂直且平分,并且每一条对角线平分一组对角. 3.判定 (1)一组邻边相等的平行四边形是菱形; (2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形; (3)四条边都相等的四边形是菱形. 4.菱形的面积 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半,即S菱形= ab.(其中a,b为菱形对角线长) 考点梳理 自主测试 考点三 正方形的性质与判定 1.定义 一组邻边相等的矩形叫做正方形. 2.性质 (1)正方形的四条边都相等,四个角都是直角; (2)正方形的对角线相等,且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角; (3)正方形是轴对称图形,两条对角线所在直线以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴;正方形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心. 考点梳理 自主测试 3.判定 (1)一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形; (2)一组邻边相等的矩形是正方形; (3)对角线互相垂直的矩形是正方形; (4)有一个角是直角的菱形是正方形; (5)对角线相等的菱形是正方形. 4.正方形的面积公式:S=a2(a为边长)或S= l2.(l为对角线的长) 考点梳理 自主测试 1.已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O,下列结论不正确的是( ) A.当AB=BC时,四边形ABCD是菱形 B.当AC⊥BD时,四边形ABCD是菱形 C.当OA=OB时,四边形ABCD是矩形 D.当∠ABD=∠CBD时,四边形ABCD是矩形 答案:D 2.(2019四川成都武侯一模)如图,在菱形ABCD中,∠A=130°,连接BD,∠DBC等于( ) A.25° B.35° C.50° D.65° 答案:A 考点梳理 自主测试 3.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( ) A.14 B.15 C.16 D.17 答案:C 4.如图,在正方形ABCD中,AD=1.将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A'BD',此时A'D'与CD交于点E,则DE的长度为 .? 命题点1 命题点2 命题点3 命题点1 矩形的性质与判定 【例1】 如图,在△ABC中,AB=AC,AD,AE分别是∠BAC和∠BAC外角的平分线,BE⊥AE. (1)求证:DA⊥AE; (2)试判断AB与DE是否相等?并证明你的结论. 分析:第(1)题利用邻补角的角平分线互相垂直易证;在第(2)题中,AB与DE是四边形ADBE的对角线,可考虑利用矩形的判定,证明四边形ADBE是矩形即可. 命题点1 命题点2 命题点3 (1)证明:∵AD,AE分别平分∠BAC,∠BAF, (2)解:AB=DE. 理由:∵AB=AC,AD平分∠BAC, ∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°.∵BE⊥AE,∴∠AEB=90°. ∵∠DAE=90°,∴四边形ADBE是矩形.∴AB=DE. 命题点1 命题点2 命题点3 命题点1 命题点2 命题点3 命题点2 菱形的性质与判定 【例2】 如图,在?ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E,BF平分∠ABC,交AD于点F,AE与BF交于点P,连接EF,PD. (1)求证:四边形ABEF是菱形; (2)若AB=4,AD=6,∠ABC=60°,求tan ∠ADP的值. (1)证明:∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠EBF. ∵AD∥BC,∴∠AFB=∠EBF. ∴∠AFB=∠ABF.∴AB=AF. 同理,AB=BE.∴AF=BE. 又AF∥BE,∴四边形ABEF是平行四边形. ∵AB=AF,∴四边形ABEF是菱形. 命题点1 命题点2 命题点3 (2)解:过点P作PG⊥AD于点G,如图. ∵四边形ABEF是菱形, ∠ABC=60°, ∴△ABE是等边三角形. 命题点1 ... ...
