课件18张PPT。第四节 角平分线(一）第一章 三角形的证明北师大版 八年级上册 要在一个三角形居住区内修有一个学校P，要求P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请问学校P的位置应建立在何处？你能在标出来吗？一、情景导入 你还记得角平分线上的点有什么性质吗?角平分线的性质定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等结合我们前面学习的定理的证明方法，你能写出这个性质的证明过程吗？二、活动探究已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E． 求证：PD=PE．证明： ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90° ∵∠1=∠2，OP=OP ∴△PDO≌△PEO（AAS） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）主要证明△PDO≌△PEO应用:常用来证明两条线段相等符号语言： ∵OC是∠AOB的平分线,（角平分线） P是OC上任意一点， （角平分线上的点） PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.（垂直距离） ∴PD=PE角平分线的性质定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等三个条件缺一不可你能写出这个定理的逆命题吗?它是真命题吗? 逆命题 定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. 它是真命题吗?假命题，举个反例说明，真命题，则需证明它 已知:如图，点P为∠AOB内一点, PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别是D,E， 且PD=PE, 求证:点P在∠AOB的平分线上命题：在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.分析：要证明点P在∠AOB的平分线上,可先作过点P的射线OC,然后证明∠POD=∠POE已知:如图，点P为∠AOB内一点, PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别是D,E， 且PD=PE, 求证:点P在∠AOB的平分线上证明：过P作射线OP， ∵ PD⊥OA PE⊥OB PD=PE,OP=OP ∴Rt△POD≌Rt△POE(HL) ∴ ∠POD= ∠POE ∴ OC是∠AOB的平分线几何语言： ∵点P为∠AOB内一点，PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E, ∴点P在∠AOB的平分线上 角平分线的判定定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.应用：常用来证明点在直线上（或直线经过某一点）例题讲析例1 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.1.已知，OE平分∠AOB，P为OE上一点，PC⊥OA交OA于点C，且PC=5cm，则P点到OB的距离为_____5cm三、巩固练习 2.已知,如图，在直角三角形ACB中，∠ACB=90°， ∠B=40°,AD平分∠ CAB交BC于D点， DE⊥AB于E，则∠CAD=_____ 25°3.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线,它们有什么关系?4.如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF. 求证:CF=EB;5.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F，BE=CF. 求证:AD是△ABC的角平分线.四、课堂小结定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. 五、布置作业教材习题1.9中的第1、2、3、4题谢谢聆听！严格性之于数学家,犹如道德之于人.教师寄语 ... ...
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