【备考2020高频考点剖析】专题18 平面几何之等腰（边）三角形问题试卷（解析版）

备考2020中考数学高频考点剖析 专题十八 平面几何之等腰（边）三角形问题 考点扫描聚焦中考 等腰（边）三角形，是每年中考的必考重点内 (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)容之一，考查的知识点包括等腰三角形的性质与判定和等边三角形的性质与判定两方面，我们从三方面进行等腰（边）三角形问题的探讨： （1）等腰三角形性质与判定； （2）等边三角形性质与判定； （3）等腰（边）三角形与四边形及其变换综合问题． 考点剖析典型例题 例1（2019?宁德）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边BC 和AC上，若AD=AE，则下列结论错误的是（　　） (?http:?/??/?www.21cnjy.com?) A．∠ADB=∠ACB+∠CAD B．∠ADE=∠AED C．∠CDE= (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠BAD D．∠AED=2∠ECD 【分析】由三角形的外角性质、等腰三角形的性质得出选项A、B、C正确，选项D错误，即可得出答案． 【解答】解：∵∠ADB是△ACD的外角， ∴∠ADB=∠ACB+∠CAD，选项A正确； ∵AD=AE， ∴∠ADE=∠AED，选项B正确； ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∠AED=∠CDE+∠C， ∴∠CDE+∠C+∠CDE=∠B+∠BAD， ∴∠CDE= (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠BAD，选项C正确； ∵∠AED=∠ECD+∠CDE，∠ECD≠∠CDE， ∴选项D错误； 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的外角性质是解决问题的关键． 例2在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD= (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BC，则△ABC的顶角的度数为 ． 【分析】分两种情况；①BC为腰，②BC为底 (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可． 【解答】解：①BC为腰， ∵AD⊥BC于点D，AD= (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BC， ∴∠ACD=30°， 如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°， 如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°， ②BC为底，如图3， ∵AD⊥BC于点D，AD= (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BC， ∴AD=BD=CD， ∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD， ∴∠BAD+∠CAD= (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)×180°=90°， ∴顶角∠BAC=90°， 综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°． 故答案为：30°或150°或90°． (?http:?/??/?www.21cnjy.com?) (?http:?/??/?www.21cnjy.com?) 例3 如图l，在平面直角坐标系中，已知点P(3，4)，点Q在x轴上，△PQO是等腰三角形，在图1中标出满足条件的点Q位置，并写出其坐标．[来源:学&科&网][来源:学。科。网] 解析 根据题意不能确定等腰△PQO中哪两边相等，于是回归到等腰三角形的定义分类求解． (1)几何法定位 ①若OP＝PQ，则以点P为圆心，OP长为半径画弧，与x轴的另一交点为Q1，连结PQ1，如图2． ②若OP＝OQ，则以点O为圆心，OP长为半径画弧，与x轴交于Q2、Q3，连结PQ1、PQ3，如图3． ③若PQ＝OQ，即点Q到线段OP两端的距离相等，因此点Q在线段OP的垂直平分线上，于是画线段OP的垂直平分线，交x轴于点Q4，连结PQ4，如图4． (2)代数法求解 解得t＝　　 ∴Q（，0）] 综合知，点Q的坐标为： (6，0)，(5，0)，（－5，0），（，0） 例4已知一次函数与x轴、y轴的交点分别为A、B，试在x轴上找一点P，使△PAB为等腰三角形。 解：由可得交点分别为， 设点P的坐标为P(x，0)，则 ，， 则，， 分三种情况讨论△PAB为等腰三角形，如图所示 若BP=BA，则，即，得 所以（与A重合，舍去）或 若PA=PB，则，即，得 所以 若AP=AB，则，即，得 所以或 综上，存在四个点P使得△PAB为等腰三角形，他们分别是 ，，， 考点过关专项突破 类型一 等腰三角形性质与判定 1.如图，已知在Rt△ (?http ... ...