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课件网) 在许多数学问题中都会研究“不变量” ,那么我们研究的线性变换是否也有“不变量”? 理解矩阵的特征值与特征向量的概念; 培养矩阵的特征值与特征向量简单应用能力. 通过学生自我探究,从线性变换和几何直观两个角度来研究矩阵的不变量—特征向量. 培养学生探究能力,知识的类比能力. 矩阵的特征值与特征向量的概念; 矩阵的特征值与特征向量的计算. 矩阵的特征值与特征向量的概念 矩阵的特征值与特征向量的计算 线性变换 二阶矩阵 变换的不变量、矩阵的特征向量 特征值与特征向量的计算 特征向量的应用 1.对于线性变换,是否存在平面内的直线，使得该直线在这个线性变换的作用下保持不变? 2.是否存在向量,使得该向量在这个线性变换的作用下有某种“不变性” ? 研究其“不变量” 从几何直观上 只有x轴和平行于y轴的直线在ρ的作用下保持不变. 在一个线性变换的作用下，确实有一些向量具有“不变性”———变成了与自身共线的向量,即变为原来向量的某个倍数. 从线性变换上 从几何直观上 矩阵A的属于特征值λ的特征向量有几个呢? (其中k1∈R,但k1≠0) 从几何直观上 属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线. 是否每个二阶矩阵都有特征向量? 请同学们从几何直观的角度进行分析! 对于一个二阶矩阵,能否不通过几何直观而直接求出它的特征值和特征向量? ∴齐次线性方程组③有非零解的充分必要条件为它的系数矩阵的行列式等于0. 即： 令y=－1,则x=2. ∴方程有非零解x=2, y=－1. 令x=1,则y=1. ∴方程有非零解x=1, y=1. 得齐次线性方程组： ∴齐次线性方程组②有非零解的充分必要条件为它的系数矩阵的行列式等于0. 即： 解得： 特征向量,得： 即： 1.（1）旋转变换Rπ把平面上的每个向量都变成它的相反向量,因此旋转变换Rπ的特征值为－1,每个非0向量都是旋转变换Rπ的特征向量; （2）恒等变换保持平面上的每个向量不变,因此恒等变换的特征值为1,每个非0向量都是恒等变换的特征向量; （3）零变换0把平面上的每个向量都变成0向量,因此零变换的特征值为0,每个非0向量都是零变换的特征向量; 2.略.
