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课件网) 第六单元 圆 第23讲 圆的基本性质 思维导图 圆的有关概念 考点导学 考点1 1.圆的概念： (1)平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，其中定点叫做圆心，定长叫做半径. (2)描述性定义：线段绕一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆.固定端点是圆心，线段长度是半径. (3)用符号“⊙”表示圆，读作“圆”. (4)同圆：圆心、半径都相同的圆. (5)同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆. (6)等圆：半径相等的圆. 2.弧与弦： (1)圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧，能够完全重合的两条弧叫做等弧. (2)连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径. 温馨提示 两条平行弦所夹的弧相等. 3.圆心角与圆周角： (1)顶点在圆心的角，叫做圆心角.顶点在圆上，并且两边分别和圆还有另外一个交点，这样的角叫做圆周角. (2)在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、弦心距这四个量中，有一个量相等，则其余三个量都相等. (3)圆心角的度数等于这个圆心角所对的弧的度数. 4.圆周角、圆心角的几个基本图形： 1.（圆的有关概念）下列语句中：①直径是弦；②弧是半圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内一定点可以作无数条直径.不正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 C.4个 2.（圆心角、弧、弦的关系）如图，在⊙O中，=,∠A=40°,则∠B=_____度. 基础点对点 C 70 垂径定理及其推论 考点2 1.定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即=，=，AE=BE. 2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，即AB⊥CD，=，=. 3.拓展延伸：根据圆的对称性，在以下5个结论中： ①=； ②＝； ③AE=BE； ④AB⊥CD； ⑤CD是直径. 只要满足其中两个结论，另外三个结论就一定成立，即知二推三. 易错提醒 平分弦的直径不一定垂直于弦，只有被平分的弦不是直径时才互相垂直. 3.（垂径定理）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,OC=5cm,CD=8cm,则AE=( ) A.8cm B.5cm C.3cm D.2cm 基础点对点 A 圆周角定理及其推论 考点3 1.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.如图，圆周角∠C和圆心角∠AOB都对着，则∠C＝∠AOB. 2.推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等. 4.（圆周角定理及其推论）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，∠BAC=40°，则∠D的度数为_____. 基础点对点 130° 圆内接四边形的性质 考点4 1.圆内接四边形的对角互补，如图，∠A+∠BCD=180°，∠B+∠D=180°. 2.圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的内对角，如图,∠DCE=∠A. 5.（圆内接四边形的性质）如图，四边形ABCD内接于⊙O,E为DC延长线上一点，∠A=50°,则∠BCE的度数为_____. 基础点对点 50° 焦点1 垂径定理及其推论的相关计算 样题1 如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于( ) A.160° B.150° C.140° D.120° C ［解析］利用垂径定理得出=，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的定义得出答案. ∵线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴ =. 又∠CAB=20°，∴∠BOD=2∠CAB=40°， ∴∠AOD=140°. ［点评］本题主要考查了圆周角定理、垂径定理等知识，得出∠BOD的度数是解题关键. 变式训练 1.(2015·六盘水)赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙.如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R=_____米. 25 2.(2019·嘉兴)如图，在⊙O中，弦AB=1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值 ... ...
