苏教版高中数学必修四教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：24向量的坐标表示(提高)（Word版）

平面向量的基本定理及坐标表示 【学习目标】 1.了解平面向量的基本定理及其意义； 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算； 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【典型例题】 类型一：平面向量基本定理 例1．如图，在中，，是中点，线段与交于点，试用基底表示： （1）；（2）；（3）. 【解析】 （1） = = = = （2）= （3）在中，取 同理： 是的中点 == 【总结升华】用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平面四边形法则结合实数与向量的积的定义，解题时要注意解题途径的优化与组合． 举一反三： 【变式1】△ABC中，BD=DC，AE=2EC，求. 【思路点拨】选取，作为基底，构造在此基底下的两种不同的表达形式.再根据相同基底的系数对应相等得实数方程组求解. 【解析】设 又 …① 又 而 ………………② 比较①②，由平面向量基本定理得： 解得：或（舍） ，把代入得： . 例2．如图，在△OAB中，，，AD与BC交于点M，设，，试以a，b为基底表示． 【思路点拨】直接利用、表示比较困难，可以先设，再根据三点共线的知识寻找出的两个方程，联立方程组，解之即得． 【解析】设（m，n∈R），则． ， ∵A、M、D三点共线，， ∴，即m+2n=1． ① 而，， ∵C、M、B三点共线，， ∴，即4m+n=1． ② 由，解得，∴． 【总结升华】 （1）充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注重方程思想的应用；（2）用基底表示向量也是运用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握． 举一反三： 【变式1】如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且，BN与CM相交于点E，设，，试用基底a，b表示向量． 【解析】易得，，由N、E、B三点共线知存在实数m，满足 ． 由C、E、M三点共线知存在实数n， 满足． 所以． 即，解得，即． 类型二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题 例3．设、、是三个有共同起点的不共线向量，求证：它们的终点A、B、P共线，当且仅当存在实数m、n使m+n=1且． 【思路点拨】本题包含两个问题：（1）A、B、P共线m+n=1，且成立；（2）上述条件成立A、B、P三点共线． 【证明】（1）由三点共线m、n满足的条件． 若A、B、P三点共线，则与共线，由向量共线的条件知存在实数使，即，∴． 令，n=，则且m+n=1． （2）由m、n满足m+n=1A、B、P三点共线． 若且m+n=1，则． 则，即． ∴与共线，∴A、B、P三点共线． 由（1）（2）可知，原命题是成立的． 【总结升华】 本例题的结论在做选择题和填空题时，可作为定理使用，这也是证明三点共线的方法之一． 举一反三： 【变式1】设e1，e2是平面内的一组基底，如果，，，求证：A，C，D三点共线． 【解析】 因为，所以与共线． 类型三：平面向量的坐标运算 例4．已知，且求M、N及的坐标. 【思路点拨】根据题意可设出点C、D的坐标，然后利用已知的两个关系式，列方程组，求出坐标. 【解析】 设，则 同理可求，因此 【总结升华】向量的坐标是向量的另一种表示形式，它只与起点、终点、相对位置有关，三者中给出任意两个，可求第三个.在求解时，应将向量坐标看做一“整体”，运用方程的思想求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算，必须熟练掌握. 举一反三： 【变式1】 已知点以及求点C，D的坐标和的坐标. 【解析】设点C、D的坐标分别为， 由题意得 因为， 所以有和，解得和 所以点C、D的坐标分别是(0，4)，(-2，0)，从而 类型四：平面向量平行的坐标表示 例5. 平面内给定三个向量 (1)若求实数k； (2)设满足且求. 【思路点拨】(1)由两向量平行的条件得出关于k的方程，从而求出实数k的值；(2)由两向量平行及得出关于x，y的两个方程，解方程即可得出x，y的值，从而求出. 【解析】 (1) (2) 又且 【总结 ... ...