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课件网) 18.2 勾股定理的逆定理 沪科版 八年级下 新知导入 同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗? 将一根绳子打13个等距的结,这样就会把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角. 为什么用上面三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢？ 新知讲解 下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c: ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17. 问题1 这三组数在数量关系上有什么相同点？ ① 5,12,13满足52+122=132, ② 7,24,25满足72+242=252, ③ 8,15,17满足82+152=172. 问题2 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？ ∵32+42=52，∴满足. a2+b2=c2 新知讲解 猜想：如果一个三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 新知讲解 已知：如图，△ABC 的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2． 求证：△ABC 是直角三角形． 分析：要证△ABC 是直角三角形 ∠C 是直角 构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′ △ABC ≌ △ A′B′C′ 新知讲解 证明：作Rt△A′B′C′，使∠C’=90°，A′C′’=b，B′C ′=a， 则 ∴△ABC ≌ △A′B′C′’(SSS)， ∴∠C= ∠C′’=90° ， 即△ABC 是直角三角形 新知讲解 归纳小结： 勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a 、b 、c 满足 a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形. 注意：c 为斜边，是最长的边，它所对的角 ∠C 是直角。 新知讲解 例1 下面以a,b,c 为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？ (1) a=7 ， b=24 ，c=25; (2) a=7 ，b=8 ，c=11. 解：(1)∵72+242=625，252=625，∴72+242=252， 根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形， 且∠C 是直角. (2)∵72+82=113，112=121， ∴72+82≠112，不符合勾股定理的逆定理， ∴这个三角形不是直角三角形. 新知讲解 例2.已知：在 ?ABC中，三边长分别为a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1). 求证：?ABC为直角三角形. 证明：∵ a2+b2=(n2-1)2+(2n)2 =n4-2n2+1+4n2 =n4+2n2+1 =(n2+1)2=c2 ∴?ABC为直角三角形 能够成为直角三角形三边长度的三个正整数，称勾股数。（如3，4，5） 新知讲解 例3 如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 为BC 上一点，且CE＝ CB，试判断AF 与EF 的位置关系，并说明理由． 解：AF⊥EF.理由如下： 设正方形的边长为4a, 则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a. 在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2. 在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2. 在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2. 在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2， ∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边． ∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF. 课堂练习 1.下列每一组数据中的三个数分别为三角形的三个边长，其中不能构成直角三角形的是（ ） A. 3,4,5 B. 6,8,10 C. 5,12,13 D. , 2 , 2.在Rt△ABC中，若AC2+AB2=BC2, 则 ——— =900. D ∠A 课堂练习 3.下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. -3,-4,-5 B. 6,8,9 C. 1.5,2,2.5 D. 8 ,15 ,17 点拨：（1）勾股数是正整数；（2）满足a2+b2=c2 4.若△ABC 的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断△ABC 的形状. 点拨：（1）要判断△ABC 的形状，必须推导出a，b，c之间的关系； （2）本题还需用完全平方公式. D 课堂练习 解：∵ a2+b2+c2+338=10a+24b+26c， ∴ a2－10a+25+b2－24b+144+c2－26c+169=0. 即 (a－5)?+ (b－12)?+ (c－13)?=0. ∴ a=5, b=12, c=13， ∵52+122=169，132 =169 ∴52+122=132 即 a2+b2=c2. ∴△ABC是直角三角形. 拓展提高 5.已知 ：如图，四边形ABCD，AB=1,BC = ，CD= ,AD=3,且 AB⊥BC. 求四边形ABCD的面积S. 分析：求一般四边形ABCD的面积，没 ... ...
