4.1 认识三角形（第3课时 三角形的中线和角平分线） 教学目标 1．理解并掌握三角形的中线、角平分线的定义，认识三角形的重心． 2．能准确画出三角形的中线、角平分线． 3．理解并掌握三角形中线、角平分线的性质． 教学重点难点 重点：三角形的中线、角平分线的定义及其性质． 难点：三角形的中线、角平分线的画法及应用． 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 定义 图示 线段 中点 把一条线段分成两条相等的线段的点 角平 分线 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线 探究新知 一、三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线.如图，AD是△ABC的边BC上的中线. 想一想：由三角形的中线能得到什么结论？ 【小组内部交流】老师引导学生得出结论：BD=CD=12BC(BC=2BD=2DC或D为BC的中点） 问题：你能分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线吗？观察它们中线的交点你会发现什么规律？ 【分组动手操作】老师引导，学生发现规律：三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三角形的重心. 拓展： 如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？你能发现什么规律？ 解：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们的面积相等. 规律：三角形的中线能将三角形的面积平分. 【小组内部交流】老师引导学生发现规律. 例1 在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝_____. 解析：因为△ABD的周长＝ AB+BD+ AD ，DB＝DC， △ADC的周长＝ AC + DC + AD ， 所以△ABD的周长??△ADC的周长 ＝（ AB+BD+ AD ）??（ AC + DC + AD ） ＝ AB??AC=2cm. 又因为AC＝5cm， 所以AB＝7cm. 答案：7cm. 二、三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的平分线与它所对的边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.如图，AD 是△ABC 的角平分线， 则∠BAD ＝∠CAD＝12∠BAC?且点D?在边BC上. 想一想：三角形的角平分线与角的平分线相同吗? 不同，三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线. 问题：请画出这个三角形的另外两条角平分线,你发现了什么？ 【小组内部交流】老师引导，学生发现规律：三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的内心. 例2 在△ABC 中，已知∠A ＝ 50°，BE，CF?分别是∠ABC，∠ACB 的平分线，且BE，CF相交于点P. ∠ABP?＝?21°，求∠BCP 的度数. 解：因为BE 平分∠ABC，∠ABE?＝?21°， 所以∠ABC?＝?2×21°＝?42°?. 因为∠A+∠ABC+∠BCA?＝?180°，∠A＝50°， 所以∠BCA ＝ 180°-50°-42°＝88° . 因为CF 平分∠BCA， 所以∠BCP＝12∠BCA?＝?44°?. 课堂练习 1.如图,在△ABC中, ∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交 AC于E，F为AB上一点，CF交AD于H，判断下列说法的正误. （1）AD是△ABE的角平分线.( ) （2）BE是△ABD的边AD上的中线.( ) （3）BE是△ABC的边AC上的中线.( ) 2.如图所示，在△ABC中，AD，CE分别是△ABC，△ACD的中线，△ABC 的面积是4 cm2，那么△BEC 的面积是（ ） A.2.5 cm2 B.2 cm2 C.1.5 cm2 D.1 cm2 3.在等腰三角形ABC 中，AB ＝ AC，一腰上的中线BD 将这个等腰三角形的周长分成12和6 两部分， 求这个等腰三角形的腰长及底边长. 4.如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°,∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数. 参考答案 1．（1）×（2）×（3）× 2．B 3.解：设AB?＝?AC?＝?2x，则AD?＝?CD?＝?x. （1）当AB+AD?＝?12，BC+CD?＝?6?时，有2x+x?＝?12， 所以x?＝?4，2x?＝?8. 所以AB?＝?AC?＝?8，BC?＝?6?4?＝?2. （2）当BC+CD?＝?12，AB+AD?＝?6?时，有2x+x?＝?6， 解得x?＝?2，所以2x?＝?4.? 所以AB?＝?AC?＝? ... ...
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