沪教版数学高二下春季班：第九讲旋转体 同步学案（教师版）

中小学教育资源及组卷应用平台 沪教版数学高二下春季班第九讲 课题 旋转体 单元 第十五章 学科 数学 年级 十一 学习 目标 1．掌握圆柱和圆锥的有关概念，理解祖暅原理和图形割补等思想方法； 2．会求柱体和锥体的表面积和体积． 重点 1．圆柱、圆锥的有关概念、表面积和体积的计算公式； 2．旋转体的有关几何问题． 难点 旋转体的有关几何问题 教学安排 版块 时长 1 知识梳理 30 2 例题解析 60 3 巩固训练 20 4 师生总结 10 5 课后练习 30 1、旋转体的概念 （1）平面上一条封闭曲线所围成的区域绕着它所在平面上的一条定直线旋转而形成的几何体叫做旋转体，该定直线叫做旋转体的轴； （2）圆柱：将矩形绕其一边所在直线旋转一周，所形成的的几何体叫做圆柱；所在直线叫做圆柱的轴； 线段和旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； 线段旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；叫做圆柱侧面的一条母线； 圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做圆柱的高 （3）圆锥：将直角三角形（及其内部）绕其一条直角边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥；所在直线叫做圆锥的轴；点叫做圆锥的顶点； 直角边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面； 斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面； 斜边叫做圆锥侧面的一条母线； 圆锥的顶点到底面间的距离叫做圆锥的高． （4）球：将圆心为的半圆绕其直径所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做球；半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面，把点称为球心，把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径． 2、侧面积、表面积和体积 圆柱，圆锥的侧面积： ，其中，分别为圆柱的底面半径、周长，为母线长； ，其中，分别为圆锥的底面半径、周长，为母线长. 圆柱、圆锥的体积 ，其中为底面积，为高，为底面半径； ，其中为底面积，为高，为底面半径。 1、旋转体的概念 【例1】有下列命题: ①在圆柱的上?下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ③过球面上任意两点和球心有且只有一个大圆； ④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的. 其中正确的是( ) .①②； .②③； .①③； .②④. 【难度】★ 【答案】 【例2】下列命题中的真命题是（ ） A．以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥； B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆柱； C．圆柱、圆锥的底面都是圆； D．圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径． 【难度】★ 【答案】C 【例3】用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是 （ ） 、圆锥 、圆柱 、球体 、以上都有可能 【难度】★ 【答案】 【巩固训练】 1．用一张长、宽分别为的矩形纸张卷成一个没有底面的圆柱筒，则圆柱的底面积为 ． 【难度】★ 【答案】 2．轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱。若一个等边圆柱的轴截面面积为，则它的底面积为 ． 【难度】★★ 【答案】 3．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的，现用一个平面去截这个几何体，若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面，那么所截得的图形可能是图中的_____． 【难度】★ 【答案】（1）（3） 2、旋转体的侧面展开 【例4】如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为 ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】此类求曲面上最短路程问题通常考虑侧面展开。 侧面展开后得矩形，其中问题转化为在上找一点使最短 作关于的对称点，连接，令与交于点则得的最小值为。 【例5】如图，一竖立在水平对面上的圆锥形 ... ...