三角形中与角度计算相关的模型 两个定理： 1、平面内，三角形的三个内角和为180°。 2、平面内，三角形的一个外角等于其不相邻的两个外角和。 由上述两个定理可导出本文如下说要讲述的相关模型：8字模型、飞镖模型、两内角角平分线模型、两外角角平分线模型、内外角角平分线模型、共顶点的角平分线与高线夹角模型。下面一一推导证明。 模型一：8字模型 条件：AD、BC相交于点O。 结论：∠A+∠B=∠C+∠D。(上面两角之和等于下面两角之和) 证明： 在△ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180° 在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°， ∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD， 由对顶角相等：∠BOA=∠COD 故有∠A+∠B=∠C+∠D 应用：如下左图所示，五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180° 模型二：飞镖模型 条件：四边形ABDC如上左图所示。 结论：∠D=∠A+∠B+∠C。(凹四边形凹外角等于三个内角和) 证明： 如上右图，连接AD并延长到E，则： ∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C。本质为两个三角形外角和定理证明。 应用：如下左图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=260° (下右图中两个飞镖)。 模型三：两内角角平分线模型 条件：△ABC中，BI、CI分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于点I。 结论： 证明： ∵BI是∠ABC平分线，∴ ∵CI是∠ACB平分线，∴ 由A→B→I→C→A的飞镖模型可知： ∠I=∠A+∠2+∠3=∠A++=∠A+=. 应用：如上图，BI、CI分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于点I。 (1) 若∠A=60° ，则∠I=120° (2) 若∠I=110°，则∠A=40° (3) 若∠A=α，则∠I=。 模型四：两外角角平分线模型 条件：△ABC中，BI、CI分别是△ABC的外角的角平分线，且相交于点O。 结论： 证明： ∵BO是∠EBC平分线，∴ ∵CO是∠FCB平分线，∴ 由△BCO中内角和定理可知： ∠O=180°-∠2 -∠5 =180°--=180°-- = = = 应用：如上图，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的外角角平分线，且相交于点O。 (1)若∠A=60° ，则∠O=60° (2)若∠O=70°，则∠A=40° (3)若∠A=α，则∠O=。 模型五：内外角角平分线模型 条件：△ABC中，BP、CP分别是△ABC的内角和外角的角平分线，且相交于点P。 结论： 证明： ∵BP是∠ABC平分线，∴ ∵CP是∠ACE平分线，∴ 由△ABC外角定理可知： ∠ACE=∠ABC+∠A 即：2∠1=2∠3+∠A ……① 对①式两边同时除以2，得： ∠1=∠3+ ……② 又在△BPC中由外角定理可知： ∠1=∠3+∠P ……③ 比较②③式子可知： 。 应用：如上图，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的外角角平分线，且相交于点P。 (1)若∠A=60° ，则∠O=30° (2)若∠O=70°，则∠A=140° (3)若∠A=α，则∠O= 模型六：共顶点角平分线与高线夹角模型 条件：△ABC中，AH是高、AD是∠BAC的角平分线。 结论： (共顶点的高线与角平分线夹角等于两底角之差的一半) 证明： ∵AD是∠ABC平分线，∴ 在△AHD中： ∠HAD=90°-∠1=90°-(∠C+∠DAC) =90°-(∠C+) =90° - [∠C+] = 应用：如上图，△ABC中，AH是高、AD是∠BAC的角平分线。 (1) 若∠C=30°，∠B=60°，则∠HAD=15°。 (2) 若∠HAD=15°，∠C=25°，则∠B=55°。 (3) 若∠B=α，∠C=β，则∠HAD=。 三角形中角度模型汇总 名称 图形 结论 八 字模 型 ∠A+∠B=∠C+∠D 飞 镖模 型 ∠D=∠A+∠B+∠C 两内角角平分线模型 两外角角平分线模型 内外角角平分线模型 共顶点角平分线和中线模型 【课后演练】 1、如下图，∠A=30°，∠B=45°，∠C=50°，则∠D=_____° 2、如图，∠B=45°，∠A=30°，∠C=25°，则∠ADC=_____° 3、如图，∠A+∠B+∠C+∠D=_____° 4、如图，△ABC的内角角平分线相交于点O，若∠O=110° ，则∠A=_____° 5、如图，△ABC的内角角平分线交于点P，△ABC的外角角平分线交于点Q，∠P=130°，则∠A=_ ... ...
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