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课件网) 相似三角形的基本类型 【主干必备】 常见相似三角形的基本类型 DE BC AB CD 类型 图示 条件 “A”字型 ___∥ ___ “X”字型 ___∥ ___ ∠ADE=∠C ∠B=∠C 类型 图示 条件 斜交型 ∠AED=∠B或_____ 蝴蝶型 ∠A=∠D或 _____? AD⊥BC ∠B 类型 图示 条件 双垂型 AB⊥AC且 _____? 子母型 ∠CAD= _____? ∠ADE(∠C=∠E) CD CD BE 类型 图示 条件 旋转型 ∠BAD=∠CAE且∠B= _____或 ∠BAD=∠CAE且_____? ? “K”字型 AC⊥_____, DE⊥_____, AB⊥_____? 【微点警示】 1.注意“A”字型和斜交型的区别:前者有平行,后者无平行. 2.注意“X”字型和蝴蝶型的区别:前者有平行,后者无平行. 3.注意双垂型和子母型的区别:前者有垂直,后者无垂直. 【核心突破】 【类型一】运用基本类型的相似三 角形计算或证明 例1(2019·德州模拟)已知:如图, 在△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,点F在DE的延长线 上,AD=AF,AE·CE=DE·EF. (1)求证:△ADE∽△ACD. (2)如果AE·BD=EF·AF,求证:AB=AC. 【思路点拨】(1)由AE·CE=DE·EF,推出△AEF∽△DEC,可得∠F=∠C,再证明∠ADF=∠C,即可解决问题. (2)欲证明AB=AC,利用相似三角形的性质证明∠B=∠C即可. 【自主解答】 (1)∵AD=AF, ∴∠ADF=∠F, ∵AE·CE=DE·EF, 又∵∠AEF=∠DEC, ∴△AEF∽△DEC, ∴∠F=∠C, ∴∠ADF=∠C, 又∵∠DAE=∠CAD, ∴△ADE∽△ACD. (2)略 【类型二】作辅助线构造基本类型的相似三角形 例2(2019·安徽中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=12,点D在边BC 上,点E在线段AD上,EF⊥AC于点F,EG⊥EF 交AB于点G.若EF=EG,则CD的长为 ( ) A.3.6 B.4 C.4.8 D.5 B 【类型三】基本类型的相似三角形与四边形综合 例3(上海中考)已知:如图,正方形ABCD中,P是边BC上一点,BE⊥AP,DF⊥AP,垂足分别是点E,F. (1)求证:EF=AE-BE. (2)连接BF,如果 .求证:EF=EP. 【思路点拨】(1)利用正方形的性质得AB=AD,∠BAD= 90°,根据等角的余角相等得到∠BAE=∠ADF,则可判 断△ABE≌△DAF,则BE=AF,然后利用等线段代换可得 到结论. (2)利用 和AF=BE得到 ,则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA,所以∠EBF=∠ADF,再证明∠EBF= ∠EBP,即可判断EF=EP. 【自主解答】 略 【类型四】基本类型的相似三角形与圆综合 例4(2019·黄冈中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的☉O交AB于点D,过点D作☉O的切线交BC于点E,连接OE. (1)求证:△DBE是等腰三角形. (2)求证:△COE∽△CAB. 【思路点拨】(1)连接OD,由DE是☉O的切线,得出∠ODE=90°,∠ADO+∠BDE=90°,由∠ACB=90°,得出∠CAB+∠CBA=90°,证出∠CAB=∠ADO,得出∠BDE=∠CBA,即可得出结论. (2)证出CB是☉O的切线,得出DE=EC,推出EC=EB,再由OA=OC,得出OE∥AB,即可得出结论. 【自主解答】 (1)略 (2)∵∠ACB=90°,AC是☉O的直径, ∴CB是☉O的切线, ∵DE是☉O的切线,∴DE=EC, ∵EB=ED,∴EC=EB, ∵OA=OC,∴OE∥AB,∴△COE∽△CAB. 【明·技法】 从复杂图形中分解(构造)出基本相似三角形的技巧 (1)见到线段比,一般需要作辅助线构造“A”字型或“X”字型相似三角形. (2)见到平行四边形中,其中蕴藏着“A”字型或“X”字型相似三角形. (3)见到圆肯定用到相等的圆周角,能构造多种类型的相似三角形. (4)见到旋转,对应边成比例自然形成旋转型相似三角形. (5)见到平面直角坐标系,通过作垂线往往形成“K”字型相似三角形. 【题组过关】 1.(2019·贺州中考)如图,在△ABC 中,D,E分别是AB,AC边上的点,DE∥ BC,若AD=2,AB=3,DE=4,则BC等于 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 B 2.(2019·日照莒县质检)如图,☉O中弦AB,CD相交于点 P,已知AP=3,BP=2,CP=1,则DP=_____.? 6 3.(2019·滨州中考)如图,?ABCD的 对角线AC,B ... ...
